4.2.1 实际问题中导数的意义 1.利用实际问题巩固和加强对导数概念的理解. 2.理解瞬时速度、边际成本等概念,并能利用导数解决有关实际 问题. 实际问题中导数的意义 在日常生活和科学领域中,有许多需要用导数概念来理解的量.在 物理学中,速度是路程关于时间的导数,线密度是质量关于线长的导 数,功率是功关于时间的导数,加速度是速度关于时间的导数;在经 济学中,边际成本是生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数. 【做一做】 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之 后停车,把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图像可 能是( ) 解析:开始启动,从原点开始;加速行驶,则路程的增加较快;匀速行 驶,路程的增速是常数;减速行驶,路程的增速慢.故只有选项A合适. 答案:A 题型一题型二题型三题型四 导数在物理学中的意义 【例1】 某质点的运动方程为s=s(t)=2t2+3t,其中s是位移(单位 :m),t是时间(单位:s). (1)求当t从1 s变到3 s时,位移s关于时间t的平均变化率,并解释它 的实际意义; (2)求当s(1),s(2),并解释它们的实际意义. 分析:(1)套用 公式即可求出平均变化率,即该质点在该段时间 内的平均速度;(2)求出导数s(t),它表示t时刻该质点的瞬时速度. 题型一题型二题型三题型四 解:(1)当t从1 s变到3 s时, 它表示从t=1 s到t=3 s这段时间内, 该质点平均每秒的位移是11 m. (2)由导数公式和导数的运算法则可得s(t)=4t+3. 则s(1)=4+3=7(m/s),s(2)=42+3=11(m/s). s(1)表示的是该质点在t=1 s时的瞬时速度, 也就是该质点在t=1 s这个时刻的瞬时速度为7 m/s. s(2)表示的是该质点在t=2 s时的瞬时速度, 也就是该质点在t=2 s这个时刻的瞬时速度为11 m/s. 题型一题型二题型三题型四 反思根据导数的实际意义,在物理学中,除了我们所熟悉的位移、 速度与时间的关系,功、功率与时间的关系,还应了解质量关于体 积的导数为密度,电荷量关于时间的导数为电流强度等.因此,在解 释某点处的导数的物理意义时,应结合这些导数的实际意义进行求 解. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 某河流在一段时间x min内流过的水量为y m3,y 是x的函数, . (1)当x从1变到8时,y关于x的平均变化率是多少? (2)求f(27),并解释它的实际意义. 题型一题型二题型三题型四 导数在经济生活中的意义 【例2】 某机械厂生产某种机器配件的最大生产能力为每日100 件,假设日产品的总成本C(元)与日产量x(件)的函数关系为C(x)= +60x+2 050.求: (1)当日产量由10件提高到20件时,总成本的平均改变量,并说明 其实际意义; (2)当日产量为75件时的边际成本,并说明其实际意义. 分析:(1)利用函数平均变化率计算,然后结合实际问题解释;(2)用 瞬时变化率的意义解释. 题型一题型二题型三题型四 反思生产成本y关于产量x的函数y=f(x)中,f(x0)指的是当产量为x0 时,生产成本的增加速度,也就是产量为x0时,每增加一个单位的产 量,需增加f(x0)个单位的成本. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 建造一幢长度为x米的桥梁需成本y万元,函数关 系为y=f(x)= (x2+x+3)(x0). (1)当x从100变到200时,平均每米的成本为 ; (2)f(100)= ,其实际意义为 . 答案:(1)30.1万元 (2)20.1万元/米 当长度为100米时,成本增加的速度为20.1万元/ 米. 题型一题型二题型三题型四 导数在日常生活中的意义 【例3】 日常生活中的饮用水通常是经过净化的,随着水纯净度 的提高,所需净化费用也不断增加,已知将1吨水净化到纯净度为x% 时所需费用(单位:元)为 (80x100). (1)求c(x); (2)求c(90),c(98),并解释它们的实际意义. 分析:(1)利用导数的求导法则求出c(x);(2)分别将x=90,98代入,即 可求出c(90),c(98),又c(x)是净化费用的瞬时变化率,从而可知 c(90),c(98)的实际意义. 题型一题型二题型三题型四 因为函数的导数是净化费用的瞬时变化率,所以,纯净度为90%时 ,费用的瞬时变化率是52.84元/吨. 同样,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1 321元/吨. 题型一题型二题型三题型四 反思函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢 .由上述计算可知,c(98)=25c(90),它表示纯净度为98%左右时净化 费用的变化率大约是纯净度为90%左右时净化费用变化率的25倍. 这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且净化费用增 加的速度也越快. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 将一杯80 的热红茶置于20 的房间里,它的 温度会逐渐下降,温度T(单位:)与时间(单位:min)之间的关系由函 数T=f(t)给出.请问: (1)f(t)的符号是什么?为什么? (2)f(3)=-4的实际意义是什么? 解:(1)由题意可知f(t)0,因为红茶温度在下降. (2)f(3)=-4的实际意义是当t=3 min时,温度的瞬时变化率,即3 min 附近时,红茶约以4 /min的速度下降. 题型一题型二题型三题型四 易错辨析 易错点 忽略实际意义而致误 【例4】 在高台跳水运动中,t s时运动员相对于水面的高度是 h(t)=-4.9t2+6.5t+10(单位:m),求高台跳水运动中运动员在t=1 s时的 瞬时速度,并解释此时的运动状况. 错解:h(t)=-9.8t+6.5, h(1)=-9.8+6.5=-3.3. 运动员在t=1 s时的瞬时速度是3.3 m/s. 此时的运动状况是以每秒3.3米的速率运动. 错因分析:瞬时速度既有大小也有方向,这里应是负值,不能回答 为正值,且运动状况是指运动速度的大小和方向.在处理实际问题 时,一定要注意导数的实际意义. 题型一题型二题型三题型四 正解:h(t)=-9.8t+6.5,h(1)=-3.3. 故运动员在t=1 s时的瞬时速度是-3.3 m/s,此时运动员向下以3.3 米/秒的速率运动. 1234 1.一物体运动的路程s与时间t之间的关系为s=t,则( ) A.物体做匀速运动B.物体做匀加速运动 C.物体做匀减速运动D.物体处于静止状态 解析:s=1,物体做匀速运动. 答案:A 1234 2.如果物体做直线运动的方程为s(t)=3(2-t)2,则其在t=3 s时的瞬 时速度为( ) A.6B.-6C.4D.-4 解析:s(t)=3(2-t)2=3t2-12t+12, s(t)=6t-12. s(3)=63-12=6. 答案:A 1234 3.某物体的运动速度与时间的关系为v(t)=2t2-1,则t=2时的加速度 为 . 解析:v(t)=4t,v(2)=8. 答案:8 1234 4.某厂生产x吨产品获利y万元,y是x的函数, 设函数为y=f(x)=- x2+21x-100. (1)当x从4变到8时,y关于x的平均变化率是多少?它代表什么实际意 义? (2)求f(84)并解释它的实际意义.