气体动理论 61 物质的微观模型 统计规律性 物质结构的微观模型 ： 1、宏观物体是由大量微观粒子分子（或原子 ）组成的，分子之间有空隙； 2、分子在不停地作无规则的运动，其剧烈程度与 温度有关； 3、分子之间存在相互作用力。 这些观点就是气体动理论的基本出发点。统计物 理学的任务就是从上述物质分子运动论的基本观点 出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性质。 一、分子的线度与间隙 在标准状态下，气体分子间的距离约为分子直径 的10倍，于是每个分子所占有的体积约为分子本身 的体积的1000倍。因而气体分子可看成是大小可以 忽略不计的质点。 气体分子的间距很大，因而很容易压缩；液体 和固体分子间也有空隙，如：50升水50升酒精 97升溶液；在2万个大气压下，液体也会从钢管壁 上渗出等等。 二、分子热运动 分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频 繁的相互碰撞。分子热运动具有混乱性和无序性。 分子无规则运动的剧烈程度与温度有关。 三、分子力 分子之间同时存在吸引力 和排斥力。实验证明当分子间 距较大时，存在的引力很小， 随着间距的减小，引力逐渐加 强，当rr0时，分子力为零， 称r0为平衡位置。rr0分子力 表现在排斥力，rr0分子力表 现在吸引力，当r10r0时，分 子力可以忽略不计。 分子间彼此趋近到分子的直径d时，分子将在强 大的斥力作用下被排斥开，类似小球间“弹性碰撞” 过程。d的平均值称为分子有效直径，数量级约为10- 10m。 四、统计规律 统计规律，是指大量偶然事件整体所遵循的规 律。虽然每个事件都是偶然、无规律的，但总体上 却存在着确定的规律性。伽尔顿板是说明统计规律 的演示实验。 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 单个小球下落时与哪些铁 钉碰撞，最后落入哪个狭槽完 全是无法预测的偶然事件(随机 事件)。大量小球总体上的分布 有确定的规律性:落入中央狭槽 的小球较多，而落入两端狭槽 的小球较少。重复几次同样实 验，得到的结果都近似相同。 描述单个分子运动情况的物理量，称为微观量 。例如分子的坐标、速度、动量、能量等，都是微 观量。由于大量气体分子间频繁的碰撞，许多微观 量都是随机量，个别分子的运动规律是无法把握的 。但在平衡态下用于描述系统整体性质的各宏观物 理量（P、T等）均有确定、稳定的值，这说明由大 量分子所组成的系统要遵从确定的统计规律。 本章将要研究的理想气体的压强公式和温度公 式、能量均分定律、麦克斯韦速率分布律等都是统 计规律。从个别分子的力学规律入手，通过对大量 分子求算术平均，建立微观量的统计平均值与宏观 量的联系，从而揭示出宏观量的微观实质，这种方 法称为统计方法。 62 理想气体的压强公式 温度的微观实质 一、理想气体分子的微观模型和统计假设 1理想气体分子的微观模型 （1）由于气体分子间距较大，分子的大小可以忽 略不计，即可把分子视为质点。 （2）气体分子间的相互作用力很弱，可忽略不计 。即认为除碰撞的瞬间外，分子之间以及分子与容 器壁之间都没有相互作用力。 （3）分子之间以及分子与器壁之间的碰撞可视为 完全弹性碰撞。 2统计假设 （1）容器中各处的分子数密度相同。 （2）分子沿任一方向的运动不比其他方向的运动占 优势，即分子向各个方向运动的几率均等。在任一 时刻，朝着直角坐标系的x、x、y、y、z和z轴 各个方向运动的分子数应相等，并且都等于总分子 数的1/6。 （3）分子速度在各个方向上的分量的各种统计平均 值相等。如： 二、理想气体压强公式 容器内的气体施加在器壁上的压强，从微观看 是大量气体分子不断与器壁碰撞的结果。每个分子 每次碰撞都给器壁一微小的冲量，大量分子不断碰 撞，表现为一个恒定、均匀、持续的压力。 设贮有理想气体的容器的容积为V，气体分子的 质量为m，分子总数为N，则单位体积内的分子数为 n=N/V。为了便于讨论，将分子分成若干个“等速组 ”，即每组内分子具有大小相等、方向相同的速度vi 。将单位体积内速度分别为v1、v2vi的分子数表 示为n1、n2 ni 于是有 如图，在器壁上任取一小块面 积dS，设某一分子以速度vi与dS 相碰，碰撞是完全弹性的，所以 Y、Z两个方向的速度分量viy变为 vix。所以，碰撞一次，分子的 动量变化为 分子施于面元dS的冲量为2mvix。在速度为vi的 分子中，dt时间内能够与dS相碰的分子只是位于以 dS为底、vixdt为高、vi为轴的斜柱体内的那部分。分 子数可表示为ni vixdtdS。因此，速度为vi的“等速组” 分子施于dS的总冲量为 对于所有可能的速度，全部分子施于dS的总冲量为 式中限制了vix0，这是因为vix0 的限制。 于是有 压强P为 理想气体压强公式的简易推导 引入气体分子平均平动动能 ： 则又有 三、温度的微观本质 1温度公式 由理想气体状态方程得 比较上两式可得 它从微观意义上给出了温度的实质，即温度表 明了物体内部分子无规则热运动的剧烈程度。 2气体分子的方均根速率 由上式得 例例1 1 一容器内贮有一容器内贮有气体气体, , 温度是温度是2727 C,(1)C,(1)压强为压强为1.013 1.013 1010 5 5 PaPa时时, ,在在1m1m 3 3 中有多少个分子中有多少个分子;(2);(2)在高真空时压强在高真空时压强 为为1.33 1.33 10 10 -5 -5Pa, Pa,在在1m1m 3 3 中有多少个分子中有多少个分子? ? 解解: :按公式按公式 p p= =nkTnkT, ,可知可知 (1)(1) (2)(2) 解解: : 例例2 2 求氮气分子的平均平动动能和方均根速率求氮气分子的平均平动动能和方均根速率, ,设设(1)(1) 在在温度温度t=1000t=1000 C C时时, , (2)(2)在在温度温度t=0t=0 C C时时; ; (3)(3)在在温度温度 t=-150t=-150 C.C. 6-3 气体分子速率分布定律 玻耳兹曼分布 一个分子在某一时刻的速度完全是随机的，但 是这并不是说气体分子的运动速度就无规律可循。 实验表明，在一定条件下，大量分子的整体的速度 分布服从统计规律。 一、速率分布函数与平均速率 气体分子速率允许取值范围为：0，为讨论 分子速率分布，选一速率小区间 vv+dv，此小区 间内的分子数为dN，总分子数为 N，则 dN/N表示 这一速率小区间内的分子数占总分子数的比率，也 可认为是一个分子其速率正好处在上述速率小区间 内的概率。 随着速率小区间的不同，相应的比率dN/N是不 同的。一方面它与速率v有关，可用函数f(v)表示； 另一方面，它与区间的宽度dv成正比。于是有 改写成 称为气体分子的速率分布函数。它表示速率v附近单 位速率间隔内的分子数占总分子数的比率或者是一个 分子其速率正好处在v附近单位速率间隔内的概率。 积分可以求出速率范围在v1v2内分子数占总 分子数的比率为 归一化条件 平均值 二、麦克斯韦速率分布 早在1859年，英国物 理学家麦克斯韦利用平衡 态理想气体分子在三个方 向上作独立运动的假设导 出了麦克斯韦速率分布， 其表达式如下： 其中T是气体的热力学温度，m是每个分子的质量， k为玻尔兹曼常量. 关于麦克斯韦分布说明几点： （1）麦克斯韦分布适用于平衡态的气体。 （2）在平衡状态下气体分子密度n及气体温度都有确 定数值，故其速率分布也是确定的，它仅是分子质量 及气体温度的函数，其分布曲线随分子质量或温度的 变化趋势示于图。 同一温度下不同气体 的速率分布 N2 分子在不同温度 下的速率分布 三、气体分子的三种速率 1最概然速率 与曲线最大值对应 的速率vp称为最概然速 率。它表示一个分子速 率取vp的概率最大。 从极值条件 可得 2平均速率 3方均根速率 因此有 以上三种速率都与热力学温度的平方根 成正比 与 或成反比。在数值上，方均根速率 最大，最概然速率最小。 这三种速率在不同的问题中有不同的用途：在 计算分子的平均平动动能时，用到方均根速率；在 讨论分子速率分布时，要用最概然速率；而在讨论 分子碰撞时，将用到平均速率。 三种速率之比： 例3设想有N个气体分子，其速率分布函数为 试求: (1)常数A；(2)最可几速率，平均速率和方均 根；(3)速率介于0v0/3之间的分子数；(4)速率介于 0v0/3之间的气体分子的平均速率。 解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件 (2)最可几速率由决定，即 平均速率 方均速率 方均根速率为 (3)速率介于0v0/3之间的分子数为 ： (4)速率介于0v0/3之间的气体分子的平均速率为 ： 速率介于0v0/3之间的分 子数占总分子数的百分比 ： 例4 求0 ，1大气压下，1.0厘米3氮气中速率在 500米/秒到501米/秒之间的分子数。 解：先求0C，1大气压下氧气的分子数密度 因所考虑的速率间隔v=1米/秒，可认为其很小，以 致在这速率区间内的分子数可直接写为 取v=500米/秒，得出 例5 讨论气体分子的x分布，其中 x=v/vp 解：由于气体分子速率v是随机量，所以x也是随机 量，它的取值范围也是0。为讨论气体分子的x分 布，设总分子数为N，在小区间xx+dx内的分子数 为dN，相应的分子数比率dN/N，一方面它与x有关 ，可用函数f(x)表示，另一方面它与区间的宽度成dx 正比。于是有: 或 其中函数就是要讨论的气体分子的x分布函数 它也满足归一化条件： 任一与x有关的随机函数一g(x)的平均值为： 还可以认为： 并由麦克斯韦速率分布式求出函数f(x)的表达式 四、玻耳兹曼分布律、粒子数随高度的变化 玻耳兹曼得出分子数密度随势能p的分布规律， 称为玻耳兹曼分布律： 其中n是空间中某处单位体积内的分子个数，而n0是 势能p=0处单位体积内的分子个数。 当粒子处于重力场中时，重力势能 代入上式得出粒子数密度随高度而变化为 其中n0是地面处（Z0）的粒子数密度。下图给出 了粒子数密度n随高度而变化的示意图。 等温大气压强公式 在式两边同乘以kT，得: 等温大气压强公式 高度公式 64 能量均分定理 理想气体的内能 一、自由度 在物理学中，决定一个物体的位置所需要的 独立坐标数，称为物体的自由度数。如，在三维 空间中自由运动的质点，必须用X、Y、Z三个坐 标来表示其位置，因而自由度为3；在水面上航行 的小船，只需2个坐标就可表示其位置，自由度为 2；沿铁轨前进的火车的自由度仅为1。 可把刚体的运动分解为质心的平动和绕通过质心 的轴的转动，这样刚体的位置可决定如下: 1、三个独立坐标X、Y、Z决定质心的位置。 2、两个独立坐标、,决定转 轴的方位；因为 三个方位角、中只有两个 是独立的。 3、一个独立坐标决定刚体 相对于某一起始位置转过的 角度。 因此，自由运动的刚体共有六个自由度:三个平 动的，三个转动的。如果刚体的运动受到某种限制， 其自由度数就会减少。比如，绕定轴转动的刚体只有 一个自由度。 分子运动的自由度 单原子分子: 3个平动自由度 双原子分子(刚性) : 3个平动，2个转动自由度 （非刚性）： 3个平动，2个转动，1个振动自由度 多原子分子（刚性） : 3个平动，3个转动自由度 (非刚性)： 3个平动