第九章 直线、平面、简单几何体一、 知识结构直线与平面平面的概念表示及画法三公理三推论两条直线相交直线平行直线异面直线公理4、等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离斜交垂直直线和平面线在面内线面平行线面相交公理一线面距离判定、性质线面角、最小角定理射影、斜线段三垂线定理及逆定理两个平面面面平行互行面面相交互行垂直斜交二面角判定、性质面面距离概念运算应用空间向量直线的方向向量共线（平行）向量共面向量平面的法向量几何运算坐标运算定理加法、减法、实数与向量的积、数量积共线向量定理、共面向量定理、空间向量定理数量积向量坐标两点距离公式空间角空间距离向量的模投影的绝对值棱柱简单和几何体多面体球概念凸多面体简单多面体欧拉定理斜棱柱斜棱柱平行六面体长方体判定、性质棱锥截面性质正棱锥判定、性质截面性质球面距离面积、体积二、 知识内容1、平面（1）概念（2）平面的表示（3）平面的画法2、平面的基本性质公理一：公理二：公理三： 推论1：推论2：推论3：3、水平放置的平面的斜二测画法：4 、两条直线的位置关系（1）异面直线（2）异面直线的画法（3）异面直线的判定（4）两条直线的位置关系：5、直线和平面的位置关系（1）位置关系：（2）平面的垂线、斜线、斜线段的射影6、两个平面的位置关系7、平行的判定元素平行判定两条直线直线和平面平面与平面8、垂直的判定元素垂直判定两条直线直线和平面平面与平面9、空间的角概念计算两条异面直线直线与平面平面与平面10、空间的距离七种距离的概念：（1）点点距离（2）点线距离 （3）点面距离：（4）平行直线间距离（5）异面直线间的距离：（6）直线和平面间的距离：（7）平行平面间的距离：两种距离的计算计算两条异面直线间的距离点到平面的距离10、等角定理11、最小角定理12、向量和基本概念（1）向量（2）向量的表示（3）共线（平行）向量（4）相等向量（5）共面向量13、向量基本定理（1）共线向量定理及推论（2）共面向量定理及推论（3）空间向量基本定理14、空间直角坐标系15、向量的坐标16、向量的运算运算几何定义性质坐标运算加减法实数与向量的积两个向量的数量积17、多面体、简单多面体、欧拉定理18、棱柱、棱锥名称定义性质表面积体积棱柱棱锥19、球（1）球面、球（2）球的性质（3）球面距离（4）球的表面积、体积（5）纬度、纬线圈（6）经度、经线圈三、 基本题型1、 证明共面例、下列命题中正确命题的个数是 （ A ） 三点确定一个平面ADBCEFHG 若点P不在平面内，A、B、C三点都在平面内，则P、A、B、C四点不在 同一平面内 两两相交的三条直线在同一平面内 两组对边分别相等的四边形是平行四边形A.0 B.1 C.2 D.3 2、 证明共点共线例、如图所示，一空间四边形ABCD，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DFFC=23，DHHA=23，求证：EF、GH、BD交于一点.3、 斜二测画法（1） 画水平放置的平面图形：常见的三角形、四边形、五边形、六边形的水平放置的图形要心中有数（2） 还原水平放置的平面图形例、按照斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图，可能改变的是 （ D ） A两线段的平行性 B平行于轴的线段的长度C同方向上两线段的比 D角的大小4、 证明两直线是异面直线及相关问题已知、为异面直线，平面，平面，则 （ B ） A.与、都相交 B.与、中至少一条相交 C.与、都不相交 D.至多与、中的一条相交 5、 判定直线与平面、平面与平面的基本位置关系6、 平行的转化证明线线平行线面平行面面平行 （1）用线线平行证明线面平行：需要寻找过已知直线的一平面与已知平面的交线（2）用面面平行证明线面平行：先直观寻找过已知直线的平行平面，再寻找相应的直线与已知平面平行7、 垂直的转化证明线线平行 面面平行线线垂直线面垂直面面垂直例、如图：在四面体ABCD中，BC=CD， ，E、F分别是AC、AD的中点。（1）求证：平面BEF平面ABC；（2）求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角。（2）（找到棱后用三垂线定理作平面角，或建系求两平面的法向量）8、 异面直线成角的计算例、已知异面直线和所成的角为，P为空间一定点，则过点P且与、所成的角都是的直线条数有且仅有 （ B ）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条例、正方体中，E、F、G分别为AB、BC、CC1的重点，则EF与BG所成角的余弦值为答案：9、 直线与平面成角的计算例、如图：四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD平面ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点。（1）求证：EF平面PAB；（2）设AB=BC，求AC与平面AEF所成的角的大小（2）10、 平面与平面成角的计算例、二面角内一点P到两个半平面所在平面的距离分别为和4，到棱的距离为，则这个二面角的大小为_ 答案：（棱的垂面）11、 异面直线间的距离计算例、如图：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，E、F、G分别是AB、CC1、B1C的中点，求异面直线EG与A1F的距离。（1）转化为直线A1F与平面GEH的距离（2）建坐标系：求公垂线段垂足坐标后求线段长求两端点分别在异面直线上的斜向量在公垂向量上投影的绝对值 答案：12、 点到平面的距离计算例、正四棱锥PABCD中，高PO的长是底面长的，且它的体积等于，则棱AB与侧面PCD之间的距离是（ A ）A. B. C. D. （1）作垂线（2）等积法（3）建坐标系：用向量投影的绝对值13、 球面距离计算例、纬度为的纬圈上有A、B两点，弧在纬圈上，弧AB的长为（R为球半径），则A、B两点间的球面距离为 （ D ）A. B. C. D. 14、 空间向量的基本几何计算：加、减、实数与向量的积、数量积例、已知点G是ABC的重心，O是空间任一点，若315、 空间向量的基本坐标计算：加、减、实数与向量的积、数量积例、已知，若，则与的值分别为（A）AB CD16、 棱柱、棱锥、球的基本概念考察例、设M=正四棱柱，N=长方体，P=直四棱柱，Q=正方体，则这些集合之间关系是 （ B ） A.QMNP B.QMNP C.QNMP D.QNMP17、 棱柱、棱锥、球的基本性质考察18、 棱柱、棱锥、球的表面积计算例、已知：正三棱锥SABC的底面边长为，各侧面的顶角为，D为侧棱SC的重点，截面过D且平行于AB，当周长最小时，求截得的三棱锥SDEF的侧面积。答案：19、 棱柱、棱锥、球的体积计算例、如图所示：A1B1C1D1是长方体的一个斜截面，其中AB=4，BC=3，CC1=12，AA1=5，则这个几何体的体积为_102_例、如图：三棱锥SABC中，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为 （ C ） A. B. C. D. E F例、如图：在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为3的正方形，EF/AB，EF与面AC的距 D C离为2，则该多面体的体积为 （ D ） A. B. 5 C. 6 D. A B （1）特殊位置（2）割补20、 多面体与球的内外切接例、三棱锥PABC的四个顶点在同一球面上，PA、PB、PC两两互相垂直，且这个三棱锥的三个侧面的面积分别为，则这个球的表面积是_ 答案：21、侧面展开问题例、在侧棱长为的正三棱锥SABC中，过A作截面AEF，则截面的最小周长为（ C ）A. B.4 C.6 D.10 52