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1292-9 高阶导数和高阶微分泰勒公式2-9 高阶导数和高阶微分泰勒公式1.高阶导数和高阶微分 在2-3中,我们讲了函数的二阶导数和二阶微分。一般地,函数的阶导数就是 而阶微分就是(是自变量;被看成与无关的有限量)因此,按照莱布尼茨的记法,函数的阶导数也可记成 或简记成 (注意的位置)这样,导数与微分之间的那种“乘或除”的转换关系被保留到阶导数与阶微分的关系中.例33 因为指数函数的导数,所以. 依次类推,则有 例34 对于函数,则 一般地, ; .同理,对于函数,有 ; .例35 对于函数,则一般地, (阶导数) (阶微分)例36 设函数.证明:.证 一方面,函数在点0是连续的,因为另一方面, 点0的导数等于点0近旁导数的极限因此,一阶导数在点0是连续的. 一般地,当时,容易看出,对于任何正整数, 其中为关于的多项式且根据洛必达法则,() 于是,因为一阶导数在点0是连续的,根据式(),所以且在点也是连续的.依次类推(或用数学归纳法),可得2.泰勒公式 一个次多项式 中,它的系数与有什么关系呢?显然,;又因为所以, , , 因此,带皮亚诺余项的泰勒公式 对于一般的函数,若它在某点有一阶导数(即可微分),根据定义,则有即若函数在点有二阶导数,令则有即. 因此,一般地,用相同的方法可以证明下面的结论(请你完成它的证明).泰勒定理1 若函数在点有阶导数,则函数在点有展开式与上面多项式的情形不同,这里多出最后的“余项”,称它为皮亚诺(G.Peano)余项.上面的展开式就称为函数在点带皮亚诺余项的阶泰勒公式.需要指出,习惯上把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式(*)微积分学教程(俄菲赫金哥尔茨著)中说, 这是没有根据的。.特别,根据例33、例34和例35中的高阶导数公式,则有,.带拉格朗日余项的泰勒公式 假若函数在含点的某区间内有一阶导数,根据微分中值定理,当足够小时,则有(拉格朗日公式)或一般情形下,有下面的结论.泰勒定理2 若函数在点及其近旁有阶导数,则在点及其近旁有其中余项称为拉格朗日余项,而称上面的展开式为带拉格朗日余项的阶泰勒公式.特别,当时,泰勒公式就是拉格朗日公式.证 为书写简单起见,以下记,并考虑等式 ()其中为待定数(当确定后,它是常数).作辅助函数它在区间上满足罗尔定理的条件,所以有使;而所以.因此,在区间上满足罗尔定理的条件,所以又有使.依次类推,就会有使,而且.最后,函数在区间上满足罗尔定理的条件,所以有使,即.因此,把它代入式(),则得因为其中,所以它就是泰勒公式其中余项 需要指出,习惯上也把函数在点的泰勒公式称为麦克劳林公式.其中余项 (拉格朗日余项)总结:令,则和都称为泰勒公式,但有下面的不同处:第一,前者只假设在点有阶导数,并且推广了;后者要假设在含点的某个区间内有阶导数,并且推广了拉格朗日公式第二,前者的余项只给出极限形式,不能估计近似公式(泰勒多项式)的误差,而后者的余项给出的是有限形式,能够用来估计上述近似公式的误差,即譬如,近似计算函数在点近旁的函数值时,可由给出的精确度和的变化范围,根据上面的估计式,确定多项式的次数;或者根据次数和的变化范围,确定一个近似公式的精确度.例37 设. 因为,所以.因此,函数的麦克劳林公式为 由此得近似公式问:当时,取多么大的,才能使这个近似公式的精确度.解 当时,经过试算,只要取,近似公式 ()的误差不超过,因为例38 函数的n阶导数为,所以,函数的麦克劳林公式为其中余项的拉格朗日形式为取,则有近似公式而误差习 题1.求:其中;(为常数); ; (提示:);(提示:); ;(提示:); .答案:; ;.2.将多项式表示成的正整指数幂的多项式.提示:选取. 答案:.3.设为次多项式.证明:是的重根的充分必要条件为4.求极限 提示:. 答案:.5.求极限 . 答案:. 提示:首先作恒等变换 然后注意, .6.若函数在点有直到阶的导数,且证明:当为偶数且时,是极大值;当为偶数且时,是极小值;当为奇数时,不是函数的极值点,而是函数的拐点.【注】函数在点取到极小值(也是最小值),而.这说明题中的条件是函数取到极值的充分条件,不是必要条件!7.设函数在区间上有二阶导数,且.证明:至少存在一点,使提示:取区间的中点,根据带拉格朗日余项的泰勒公式,则8.设函数在区间内有二阶导数.若证明:.提示:根据带拉格朗日的泰勒公式,对于任意正数,从而对任意正数,有9.设函数在区间上有二阶导数.证明:若则.【注】结论是最好的估计式,因为有例子说明不能再改进了.10.设函数在点近旁有阶连续导数,且,而泰勒公式中的拉格朗日余项为其中.证明:.提示:因为函数在点近旁有阶连续导数,所以其中11.证明莱布尼茨公式:若函数和都有阶导数,则它们的乘积也有阶导数,而且阶导数为 (其中)而阶微分为 (其中)提示:根据 我们看出,右端各项的系数就是牛顿二项式公式中各项的系数。通过对比,并注意两者的相似处和不同处,请你用数学归纳法证明上面的阶导数公式.12.设方程(为正整数).证明:提示:先证明,然后在两端同时关于求阶导数.129
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