深 圳 市 高 仁 江 工 作 室 圆的阶段复习教案（2） 姓名 分数 女人常发牢骚，说男人没本事，迎娶她时家里啥都没有。她指着衣柜、彩电、床、被子说：“这些东西都是我从娘家带来的，你有啥?”男人一笑，指着她怀里的孩子说：“你敢说孩子也是你从娘家带来的?” 感悟： 经典导航1圆有关的公式：1. 有关的计算：（1）圆的周长C=2R； （2）弧长L=； （3）圆的面积S=R2. （4）扇形面积S扇形 =； 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图 = （2）圆柱的体积： （3）圆锥的体积：经典导航2圆有关的与圆有关的角的概念和定理： 1.圆心角：顶点在圆心的角 2.圆周角 ：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定理: 圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。 同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 在同圆或等圆中，圆周角相等弧相等弦相等。 3.顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。 弦切角定理及其推论:（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图） 4.顶点在圆外的角(两边与圆相交)的度数等于其所截两弧度数差的一半. 证明：同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”圆内角的证明完全类似：过C作CE/AB，交圆于E，则有APC=C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而C的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC所以APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”另外也可以连接BC进行证明 5.顶点在圆内的角(两边与圆相交)的度数等于其及其对顶角所截弧度数和的一半.证明： 命题2的证明如图，过C作CE/AB，交圆于E，则有P=DCE，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而DCE的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD弧BE=弧BD弧AC所以DCE的度数等于“弧BD弧AC”的一半即“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半” 另外也可以连接BC，则P=BCDBBCD的度数等于弧BD的度数的一半B的度数等于弧AC的度数的一半同样得“顶点在圆外的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数差的一半”圆内角的证明完全类似：过C作CE/AB，交圆于E，则有APC=C，弧AC=弧BE（圆中两平行弦所夹弧相等）而C的度数等于弧DE的一半，弧DE=弧BD+弧BE=弧BD+弧AC所以APC的度数等于“弧BD+弧AC”的一半即“顶点在圆内的角（两边与圆相交）的度数等于其所截两弧度数和的一半”另外也可以连接BC进行证明经典导航3圆轴对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；是中心对称图形，对称中心是圆心；其特有旋转不变性。垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的弧相等依据垂径定理及其推论可概括为5.2.3定理：对于一条直线和一个圆来说，如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个：垂直弦过圆心平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧经典导航3知识点三圆的轴对称性：圆是 对称图形，其对称轴是任意一条过 的直线；是 对称图形，对称中心是圆 ；其特有旋转不变性。垂径定理垂直于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过 ，并且平分弦所对的 平分弦所对的一条弧的直径， 弦，并且 弦所对的另一条弧在同圆或等圆中,两条平行弦所夹的 相等 二推三如果具备下列五个条件中的任意两个，那么也具备其他三个： 经典导航4圆有关的圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论（4.1.3定理）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 圆心角、弧、弦、弦心距之间相等关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等，所对的弦的 相等 一推三在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 经典导航5圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角圆的切线的判定： 定义依据d=r定理：经过直径的一端（或半径的外端）并且垂直于这条直径（或半径）的直线是圆的切线圆的切线证明的两种情况：连半径，证垂直；作垂直，证半径。切线的性质定理及推论定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 依据性质定理及两个推论的条件和结论间的关系，总结出如下结论（3.2.1定理）： 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 (1)垂直于切线； (2)过切点； (3)过圆心切线的性质定理及推论定理： 圆的切线 于经过切点的半径 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 点 . 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 二推一 如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个，就可推出第三个 (1) ； (2) ； (3) 扬帆起航1 圆的对称性 同步练习一、填空题:1.圆既是轴对称图形,又是_对称图形,它的对称轴是_, 对称中心是_.毛2.已知O的半径为R,弦AB的长也是R,则AOB的度数是_.3. 圆的一条弦把圆分为5: 1 两部分, 如果圆的半径是2cm, 则这条弦的长是_cm.4.已知O中,OC弦AB于C,AB=8,OC=3,则O的半径长等于_.5.如图1,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是_. （1） （2） （3）6.已知:如图2,有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_m.7.如图3,D、E分别是O的半径OA、OB上的点,CDOA,CEOB,CD= CE, 则 与弧长的大小关系是_.8.如图4,在O中,AB、AC是互相垂直且相等的两条弦,ODAB,OEAC,垂足分别为D、E,若AC=2cm,则O的半径为_cm. （4） （5） （6） （7）二、选择题:9.如图5,在半径为2cm的O中有长为2cm的弦AB,则弦AB所对的圆心角的度数为( ) A.60 B.90 C.120 D.15010.如图6,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11.如图7,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条三、解答题:12.如图,AB是O的弦(非直径),C、D是AB上两点,并且AC=BD.试判断OC与OD 的数量关系并说明理由.13.如图,O表示一圆形工件,AB=15cm,OM=8cm,并且MB:MA=1:4, 求工件半径的长.14.已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为的中点,AB、OC 相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.15.如图,AB是O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且CPB=DPB,试比较线段PC、PD的大小关系.16.半径为5cm的O中,两条平行弦的长度分别为6cm和8cm.则这两条弦的距离为多少?17.在半径为5cm的O中,弦AB的长等于6cm,若弦AB的两个端点A、B在O上滑动(滑动过程中AB的长度不变),请说明弦AB的中点C在滑运过程中所经过的路线是什么图形.18.如图,点A是半圆上的三等分点,B是的中点,P是直径MN上一动点.O的半径为1,问P在直线MN上什么位置时,AP+BP的值最小?并求出AP+BP的最小值.答案:1.中心 过圆心的任一条直线 圆心 2.60 3.2cm 4.5 5.3OP5 6.10 7.相等 8. 9.C 10.B