第六节 曲线的凹凸性与拐点 内容提要 1.函数的凹凸性及其判别方法; 2.拐点及其求法. 教学要求 掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法. 一、曲线凹向的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 曲线弧位于任一 切线下方 曲线弧位于任一 切线上方 曲线的凹凸,可以用函数的二阶导数的符号来判定. 定理 定义1 设函数f (x)在a，b上连续,在 可导，在曲 线上任取一点做切线，曲线弧位于任一切线上方,则称 曲线在a，b上是凹的；如果曲线弧位于任一切线下方, 则称曲线在a，b上是凸的. 说明：（1）曲线凹凸的判定图形解释 （2）为熟练掌握凹凸性的判定，介绍淋雨法则： + 例1 利用二阶导数验证二次函数 曲线的凹凸性. 解：函数的定义域为 当a0时, ,抛物线开口向上,曲线是凹的. 当a0 x y o a0时,如下表 解：函数的定义域为 令，得 0 x y o a0 当a0时,如下表 a0 x y o 0 二、曲线的拐点及其求法 定义2 连续曲线的凹段与凸段的分界点叫做曲线 的拐点. 拐点的求法: 注意: 例3 求曲线 的凹、凸区间及拐点 若令 解：函数的定义域为 ,列表 所以, y在区间(,0)及(2,)上是凹的, 在(0,2)上是凸的, 拐点有(0,1)和(2, 15). (,0) 0 (0，2)2 (2,) + 0 0+ 拐点拐点 x y 解 例4 所以, y在区间(,0)是凹的, 在 (0,)上是凸的, (0,0)是拐点. 0 不存在 + 说明2: 说明1:函数有二阶导数 说明3: 注:求凹凸 区间及拐点的步骤： 小结 曲线的弯曲方向凹凸性; 改变弯曲方向的点拐点; 凹凸性的判定. 拐点的求法