1 1.4.11.4.1 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 课前预习学案课前预习学案 【预习目标】 预习优化问题，初步体会导数在解决实际问题中的作用。 【预习内容】 1、简述如何利用导数求函数极值和最值？ 2、 通常称为优化问题。 3、利用导数解决优化问题的基本思路： 优化问题优化问题 【提出疑惑】 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑点疑惑内容疑惑内容 课内探究学案课内探究学案 【学习目标】 1、掌握有关实际问题中的优化问题； 2、形成求解优化问题的思路和方法。 学习重难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。 【学习过程】 （一） 情景问题： 汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽 油的消耗量w是汽车速度v的函数根据你的生活经验，思考下面两个问题： 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ 2 “汽油的使用率最高”的含义是什么？ （二） 合作探究、精讲点拨 例例 1 1：海报版面尺寸的设计：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。 如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 探究探究 1 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？ 例例 2 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 2 0.8 r分， 其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分,且 制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm. 问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 探究探究 2 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么 发现？ 例例 3 3磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1， 这个基本单元通常被称为比特（bit） 。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得 3 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 探究探究 3 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？ 此时，是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？ （三）反思总结 1、导数在解决实际生活中的问题应用方向是什么？ 2、解决优化问题的方法是怎样的？ （四）当堂检测 练习：练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？ 变式：变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才 能使所用材料最省？ 4 课后练习与提高课后练习与提高 1、一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个 无盖的方盒。 试把方盒的体积V表示为x的函数。 x多大时，方盒的容积V最大？ 2、某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间定价为每天 180 元时，房间会全部住满； 房间单价每增加 10 元，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆每天需花费 20 元 的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？ 5 6 1.4.11.4.1 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 【教学目标教学目标】 1、会解决使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，深入体会导数在解决实际 问题中的作用； 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 【教学重难点教学重难点】 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题 教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。 【教学过程教学过程】 (一)预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 （二）情景导入、展示目标 教师：我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间 有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数根据你的生活经验，思考下面两个 问题： 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？ “汽油的使用率最高”的含义是什么？ 通过实际问题引发学生思考，进而导入本节课，并给出本节目标。 （三）合作探究、精讲点拨 （1）提出概念 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化优化 问题问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我 们利用导数，解决一些生活中的优化问题 （2）引导探究 例例 1 1：海报版面尺寸的设计：海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图 1.4-1 所示 的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空 2dm,左、右两边各空 1dm。如 何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 探究探究 1：在本问题中如何恰当的使用导数工具来解决最优需要？ 例例 2 2饮料瓶大小对饮料公司利润的影响饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 2 0.8 r分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获 利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？ 探究探究 2 2：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么 发现？ 例例 3 3磁盘的最大存储量问题磁盘的最大存储量问题 7 计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化 成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形 区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1， 这个基本单元通常被称为比特（bit） 。 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得 小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。 问题：问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域 是不是r越小，磁盘的存储量越大？ r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 探究探究 3 3：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？ 此时，是不是 r 越小，磁盘的存储量越大？ 由学生结合已有的知识，提出自己的看法，同伴之间进行交流。老师及时点评指导， 最后归纳、总结，讲评。 （四）反馈测评 练习：练习：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用 的材料最省？ 变式：变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才 能使所用材料最省？ （五）课堂总结 导数在实际生活中的应用方向：导数在实际生活中的应用方向：主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主 要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润 及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。 解决优化问题的方法：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数 关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立 适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个 过程中，导数是一个有力的工具 利用导数解决优化问题的基本思路：利用导数解决优化问题的基本思路： 解决数学模 型 作答 用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题 优化问题优化问题 用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案 8 【作业布置作业布置】 发导学案、布置预习。发导学案、布置预习。