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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 1.平面向量的正交分解的定义 把一个向量分解为两个_的向量. 2.平面向量的坐标表示 (1)建系选基底:在平面直角坐标系中,分别取与_轴、_轴 方向相同的两个_i,j作为基底. 互相垂直 xy 单位向量 (2)定义坐标:对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理 知,有且只有一对实数x,y,使得a=_.则有序数对_ 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标:i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). xi+yj(x,y) 3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),R,则: a+b= _ a-b= _; a= _. (2)重要结论:已知向量 的起点A(x1,y1),终点B(x2, y2),则 = _. (x1+x2,y1+y2); (x1-x2,y1-y2) (x1,y1) (x2-x1,y2-y1) 1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同. ( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标. ( ) (3)在平面直角坐标系中,两相等向量的终点坐标一样. ( ) 【解析】(1)错误.由于向量可以平移,无论向量在何位置,它的坐标不变.终点 不同的两个向量的坐标可以相同. (2)错误.向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标. (3)错误.两相等向量的坐标相等,与它们的终点无关. 答案:(1) (2) (3) 2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在平面直角坐标系内,已知i,j是两个互相垂直的单位向量,若a=2i-3j,则向 量用坐标表示a= . (2)若向量a=(3,5),b=(-3,2),则a+b= . (3)若点A(3,1),点B(4,6),用坐标表示向量 = . 【解析】(1)由于i,j是两个互相垂直的单位向量,则a=(2,-3). 答案:(2,-3) (2)a+b=(3,5)+(-3,2)=(0,7). 答案:(0,7) (3) =(4,6)-(3,1)=(1,5). 答案:(1,5) 【要点探究】 知识点1 平面向量的正交分解及坐标表示 1.对向量正交分解的认识 (1)向量的正交分解是平面向量基本定理的一种特例. (2)正交分解的两个基向量互相垂直,构成正交基底. 2.解读平面向量的坐标表示 (1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关,而与它们的具体位置无关. (2)向量确定后,向量的坐标就被确定了. (3)引入向量的坐标表示以后,向量就有两种表示方法:一种是几何法,即用向 量的长度和方向表示;另一种是坐标法,即用一对有序实数表示.有了向量的坐 标表示,就可以将几何问题转化为代数问题来解决. 3.点的坐标与向量的坐标的区别和联系 (1)区别: 意义 点的坐标反映点的位置,它由点的位置决定;向量的坐标反映的是向量的大小 和方向,与位置无关; 表示形式 如点A(x,y),向量a (x,y)当平面向量 平行移 动到 时,向量不变,即 (x,y),但 的 起点O1和终点A1的坐标都发生了变化. (2)联系: 向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系, 只与其相对位置有关系. 把坐标原点作为表示向量a的有向线段的起点,这时向量a的坐标就由表示向 量a的有向线段的终点唯一确定,即终点的坐标就是向量a的坐标. 4.相等向量坐标之间的关系 由向量的坐标定义知,两向量相等等价于它们的坐标相等,若a=(x1,y1),b=(x2 ,y2),则a=bx1=x2且y1=y2. 【微思考】 (1)相等向量的坐标相同吗?相等向量的起点、终点的坐标一 定相同吗? 提示:由向量坐标的定义知:相等向量的坐标一定相同,但是 相等向量的起点、终点的坐标可以不同. (2)以原点O为起点作向量 =a,点A的位置由谁确定? 提示:由a唯一确定. 【即时练】 1.已知向量a=(-2,3),b=(2,-3),则下列结论正确的是( ) A.向量a的终点坐标为(-2,3) B.向量a的起点坐标为(-2,3) C.向量a与b互为相反向量 D.向量a与b关于原点对称 2.下列说法不正确的是 ( ) A.若将 =(x0,y0)平移,使起点M与坐标原点O重合,则点N的坐标为 (x0,y0) B. =(x0,y0)的相反向量的坐标为(-x0,-y0) C.若直线MN与y轴垂直且 =(x0,y0),则必有y0=0 D.若 =(x0,y0)是一个单位向量,则x0小于1 【解析】1.选C.因为a=(-2,3),b=(2,-3).所以a+b=(-2,3) +(2,-3)=(0,0)=0,即a=-b. 2.选D.A正确,将 =(x0,y0)平移,其坐标不变,又因为起 点在原点的向量的坐标就是其终点坐标,所以使起点M与坐标 原点O重合,则点N的坐标为(x0,y0).B正确, 的相反向量 为- ,其坐标为(-x0,-y0).C正确,因为直线MN与y轴垂 直,将 =(x0,y0)平移,使起点M与坐标原点O重合,则点N 落在x轴上,其坐标为(x0,0),所以y0=0.D错误,若 =(x0, y0)是一个单位向量,则-1x01. 知识点2 平面向量的坐标运算 1.两个向量和(差)的坐标 由于向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)等价于a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,则 a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2),同理可得a-b=(x1-x2 ,y1-y2).这就是说,两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差 ). 2.实数与向量积的坐标 由a=(x,y),可得a=xi+yj,则a=(xi+yj)=xi+yj.从而a=(x,y).这就是说实数与 向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 【知识拓展】向量的三种运算体系 (1)图形表示下的几何运算. 此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用. (2)字母表示下的几何运算. 此运算体系下一方面要注意运算律的应用,另一方面要注意 等运算法则的应用. (3)坐标表示下的代数运算. 此运算体系下要牢记公式,且细心运算.若已知有向线段两个端 点的坐标,则应先求出向量的坐标,再进行坐标运算. 【微思考】 (1)求向量 的坐标需要知道哪些量? 提示:求向量 的坐标,需要知道点A和点B的坐标. (2)向量可以平移,平移前后它的坐标会发生变化吗? 提示:向量确定以后,它的坐标就被唯一确定,所以向量在平移前后,其坐标不变 . 【即时练】 1.已知点A(1,-2),点B(4,0),则向量 =_. 2.已知a=(2,1),b=(1,4),则2a-3b=_. 【解析】1.由于点A(1,-2),点B(4,0),所以向量 =(4,0)-(1,-2)=(3,2). 答案:(3,2) 2.2a-3b=2(2,1)-3(1,4)=(4,2)-(-3,12)=(7,-10). 答案:(7,-10) 【题型示范】 类型一 平面向量的坐标表示及运算 【典例1】 (1)已知 =(2,4), =(2,6),则 =( ) A.(0,5) B.(0,1) C.(2,5) D.(2,1) (2)(2014怀化高一检测)已知O是坐标原点,点A在第一象 限, xOA=60,求向量 的坐标. 【解题探究】1.题(1)中向量 与向量 , 两向量有什 么关系? 2.题(2)中 的坐标与A点的坐标有什么关系? 【探究提示】1. 2.因为向量 的起点在原点,所以其坐标与点A的坐标相同. 【自主解答】(1)选D.因为 =(2(2),64)= (4,2),所以 =(2,1). (2)设点A(x,y),则x y 即 所以 【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐 标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 【变式训练】(2014北京高考)已知向量a=(2,4),b=(-1,1), 则2a-b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【解析】选A.2a-b=2(2,4)-(-1,1)=(5,7). 【补偿训练】1.(2014萍乡高一检测)已知A(x,2),B(5,y 2),若 =(4,6),则x,y的值为( ) A.x=9,y=-2 B.x=1,y=10 C.x=1,y=10 D.x=-1,y=10 【解析】选B. =(5x,y22)=(4,6),所以x=1,y=10. 【误区警示】由于没有把握好向量 的坐标与点A和点B的坐 标的关系,本题易发生 =(x-5,2-y+2)=(4,6),解得x=9, y=-2的错误. 2.已知四边形ABCD为平行四边形,O为对角线AC,BD的交点, =(3,7), =(2,1)求 的坐标 【解析】因为 =(2,1)(3,7)=(5,6), 所以 类型二 坐标形式下相等向量的运算 【典例2】 (1)(2014烟台高一检测)若向量a(x+3,x23x4)与 相等,已知A(1,2),B(3,2),则x的值为( ) A.-1 B.-1或4 C.4 D.1或-4 (2)已知M(2,1),N(0,5),且点P在MN的延长线上,|MP|=2|PN|, 则P点坐标为( ) (3)(2014合肥高一检测)已知平面上三点的坐标分别为 A(2,1),B(1,3),C(3,4),求点D的坐标,使这四点构成平 行四边形的四个顶点. 【解题探究】1.题(1)中由a与 相等,这两向量的坐标有什 么关系? 2.题(2)中由点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|,会得到怎样的 相等向量? 3.题(3)中的四点有可能会构成哪几种平行四边形,需要分情 况讨论吗? 【探究提示】1.相等向量的坐标对应相等. 2.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|,所以 3.需分不同的情况讨论,有可能构成的平行四边形为ABCD;平行四边形ACDB; 平行四边形ACBD. 【自主解答】(1)选A.因为 =(3,2)(1,2)=(2,0), =a,所以 解得x=1. (2)选A.因为点P在MN的延长线上, |MP|=2|PN|,所以 又 =(0,5)(2,1)=(2,6),所以 =(4,12),故点 P的坐标为(2,11). (3)当平行四边形为ABCD时,设D(x,y),由 =(1,2), =(3x,4y)且 得D(2,2).当平行四边形为ACDB时, 设D(x,y),由 =(1,2), =(x3,y4)且 得 D(4,6).当平行四边形为ACBD时,设D(x,y),由 =(5,3), =(1x,3y)及 得x=6,y=0,故D(6,0). 故D点坐标为(2,2)或(4,6)或(-6,0). 【延伸探究】若题(1)中将A,B两点的坐标改为“A(x,2), B(11,2)”,又如何求解呢? 【解析】选C.因为 =(11,2)-(x,2
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