2017年五校高一联谊考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分. 1.设集合，则_.【答案】2【解析】由题意得答案：2.函数的最小正周期是_.【答案】【解析】函数的周期为，函数的最小正周期.3.已知幂函数的图像过点，则_.【答案】3【解析】设幂函数的解析式为，点，解得，答案：4.已知，那么的值为_.【答案】-2【解析】试题分析：，解得考点：同角间的三角函数关系5.已知扇形的半径长为2，面积为4，则该扇形圆心角所对的弧长为_.【答案】4【解析】设扇形的半径为，弧长为，面积为，由，得，解得答案：46.函数y=ax1+1（a0且a1）的图象必经过定点_【答案】（1，2）【解析】试题分析：由题意令x-2=0，解得x=2，再代入函数解析式求出y的值为2，即可得所求的定点令x-1=0，解得x=1，则x=1时，函数，即函数图象恒过一个定点（1，2）考点：指数函数恒过点7.是第二象限角，为其终边上一点，且，则的值为_.【答案】【解析】由题意得，是第二象限角，解得答案：8.已知函数，则函数的单调递增区间为_.【答案】 【解析】，当，即时，函数单调递增，故当时，函数的单调递增区间为答案:9.设，则按从大到小的顺序是_.（用“”号连接）【答案】 【解析】，；为锐角，故，又答案：点睛：（1）对于三角函数值的大小比较问题，可将角转化到三角函数的同一个单调期间内，根据三角函数的单调性判断出其大小关系（2）根据三角函数线可得以下结论：若，则有利用此结论可较方便地比较有关三角函数值的大小10.函数的值域是_.【答案】（0，1【解析】令，则故函数的值域是答案：11.函数的零点所在区间是，则正整数_.【答案】1【解析】，又函数单调递增，函数在区间内存在唯一的零点，答案：112.已知，则_.【答案】 【解析】由条件得，又，答案： 点睛：应用诱导公式的思路与技巧（1）使用诱导公式的一般思路化大角为小角；角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍(2)常见的互余和互补的角常见的互余的角：与；与；与等常见的互补的角：与；与等13.已知函数是奇函数，则_.【答案】-1【解析】当时，函数为奇函数，即，答案：14.若关于的不等式对任意都成立，则实数的取值集合是_.【答案】【解析】试题分析：解法一：由得由不等式得或所以解法二：图像法.与的图像不能同时在轴上方或下方，所以它们与轴的交点必然重合，所以本题难点在于将原不等式对正实数恒成立理解为两个不等组解集的并集为正实数集.考点：解不等式，不等式恒成立.二、解答题（本大题包括6小题，满分90分.）15.已知集合，.（1）求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）由题意求得集合A，B，然后求出，再求交集即可（2）根据可得到关于的不等式组，解不等式组即可试题解析：（1）由题意得，（2），解得实数的取值范围为16.计算：（1）；（2）已知，求的值.【答案】（1） （2） 【解析】试题分析：（1）根据分数指数幂的运算法则和对数的运算求解（2）根据求得，解方程组求出后再求解试题解析：（1）原式=33+（42） = （2）sin+cos=， 1+2sincos=，2sincos= ，sincos= 由，解得sin =，cos=， 点睛：三角求值中的常用技巧（1）对于这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为；(2)关于的齐次式，往往化为关于的式子后再求解17.某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表：0050-50（1）求出实数；（2）求出函数的解析式；（3）将图像上所有点向左平移个单位长度，得到图像，求的图像离原点最近的对称中心.【答案】（1） (2) （3） 【解析】试题分析：（1）由表中的数据可求得函数的周期，根据“五点法”中每相邻的两点之间相差个周期可求得（2）由表中数据求出后可得解析式（3）求得函数的解析式后可求得函数图象的对称中心，根据题意求解即可试题解析：（1）由题意得， 故(2)根据表中已知数据，所以又当时，即，又，函数表达式（3）由题意知令得所以函数图象的对称中心为故离原点最近的对称中心为18.如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为8，圆环的圆心距离地面的高度为10，蚂蚁每12分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处.（1）试确定在时刻（）时蚂蚁距离地面的高度；（2）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过14？【答案】（1） （2）有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m【解析】试题分析：（1）先确定点P咋t分钟内所转过的角，从而可得到点P的纵坐标，由此可得在时刻时蚂蚁距离地面的高度，（2）根据（1）中的关系式解三角不等式可得的取值范围，进而可得所求时间试题解析：（1）设在时刻t（min）时蚂蚁达到点P，则点P在t分钟内所转过的角为=，所以以Ox为始边，OP为终边的角为的大小为+， 故P点的纵坐标为8sin（+），则h=8sin（+）+10=108cos，在时刻时蚂蚁距离地面的高度=108cos（t0） （2）由（1）知h=108cos令108cos14，可得cos，（kZ），解得，又，4t8即在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14m19.已知函数为偶函数.（1）求实数的值；（2）记，判断与的关系；（3）令，若集合，集合，若，求集合.【答案】（1）-1（2）（3） 【解析】试题分析：（1）由为偶函数可得，整理得在定义域上恒成立，故得（2）计算得，又，从而易得结论（3）用反证法证明不成立，又无解，从而可得结合条件可得到，即无实数根，可得试题解析：（1）为偶函数 在上恒成立，2）由（1）可知： （3）若存在，使，则则必存在，使得，由零点存在性定理知，这与矛盾 又无解综上所述又函数图象的开口向上，因此存在，使， ，于是无实数根，所以20.已知函数.（1）解不等式；（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（1，3）（2） （3） 【解析】试题分析：（1）利用换元法并通过解二次不等式可得22x8，可得1x3，即为所求（2）分离参数可得在有解，设，求出函数在区间上的值域即为所求范围（3）根据题意求得的解析式，然后通过分离参数，将恒成立问题转化为具体函数的最值问题，求解即可试题解析： （1）原不等式即为，设t=2x，则不等式化为tt2169t，即t210t+160，解得2t8，即22x8，1x3原不等式的解集为（1，3）（2）函数在上有零点，所以在上有解，即在有解设，当时，；当时，在有解故实数m的取值范围为 （3）由题意得，解得 由题意得，即对任意恒成立，令，则则得对任意的恒成立，对任意的恒成立，因为在上单调递减，所以实数的取值范围点睛：（1）本题的解法中体现了转化思想方法的运用，这也是数学中最常用的方法之一（2）对于恒成立问题注意以下结论恒成立等价于；恒成立等价于当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替（3）对于能成立问题注意以下结论能成立（或有解）等价于的范围即函数的值域；能成立（或有解）等价于；能成立（或有解）等价于在后两种情况中当函数的最值不存在时，可利用函数值域的端点值来代替