中山一中2017-2018学年第二学期高二级第 一 次 段 考 数学 试 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数在区间上的平均变化率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用函数的解析式求出区间两个端点的函数值，再利用平均变化率公式求出该函数在区间上的平均变化率.详解：，该函数在区间上的平均变化率为，故选B.点睛：本题主要考查函数在区间上的平均变化率，意在考查学生的计算能力与理解能力，属于简单题.2. 若，则复数在复平面上对应的点在A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，求得复数在复平面上对应的点的坐标，即可得结果.详解：因为所以复数在复平面上对应的点的坐标为，位于第四象限，故选D.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 已知曲线上一点，则处的切线斜率等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：求出曲线的导函数，然后把切点的横坐标代入导函数即可求出切线的斜率.详解：，时，即处切线的斜率是，故选B.点睛：本题主要考查导数的几何意义，以及已知切点坐标求斜率，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导，再将切点横坐标代入即可.4. 方程有实根，且，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由复数相等的意义将方程转化为实系数方程，解方程求出两根.详解：方程，可以变为，由复数相等的性质得，解得，方程有实根，故，复数，故选A.点睛：本题主要考查复数相等的意义，两个复数相等，则它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等.5. 在用反证法证明时的反设为A. 且 B. 或C. D. 【答案】B【解析】分析：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，命题“”的否定，即是所求.详解：用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，因为命题“”的否定为“”，用反证法证明时的反设为“或”，故选B.点睛：本题考查命题的否定，用反证法证明数学命题，属于简单题.6. 某个命题与正整数有关，如果当时，该命题成立；那么可推得当时命题也成立，现在已知当时，该命题不成立，那么可推得A. 当时，该命题不成立 B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立 D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】如果当时，该命题成立，那么可推得当时命题也成立所以其逆命题为：当时命题不成立，那么时，该命题也不成立，故已知当时，该命题不成立，那么可推得当时该命题不成立7. 复数不可能在A. 在第一象限 B. 在第二象限 C. 在第三象限 D. 在第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，令复数实部、虚部大于零，得到不等式组无解，即对应的点不在第一象限.详解：由已知，复平面对应的点如果在第一象限，则，而此不等式无解，即在复平面对应的点不可能在第一象限，故选A.点睛：本题主要考查数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，考查复数的几何意义，复数与复平面内的以实部为横坐标，虚部为纵坐标的点一一对应.8. 函数的切线方程为，则A. 2 B. 1 C. 3 D. 0【答案】A【解析】分析：求出导函数，令可得切点坐标，将切点坐标代入切线方程即可得结果.详解：因为，所以，令，得，时，切点坐标为，代入切线方程可得，不合题意；时，切点坐标为，代入切线方程可得，符合题意，故选A.点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.9. 数列，则此数列的第项是A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：分析给数列的变化规律，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，分析可得项应该在第组，列举第组的每个数，即可得到结论.详解：根据题意，数列，可以将数列如下分组：第一组个数，为；第二组个数，为；第三组个数，为，前组共有个数，第组有个数，第项应该在第组，第组为，则第项是，故选B.点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.10. 某运动员罚球命中得1分，不中得0分，如果该运动员罚球命中的概率为，那么他罚球一次的得分的方差为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：直接利用期望公式与方差公式求解即可.详解：，故选B.点睛：本题考查离散型随机变量的期望与方差，属于中档题. 求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算11. 计算（其中）的结果为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析： ，利用微积分基本定理求解即可.详解：， ，故选A.点睛：本题考查定积分的求法，考查计算能力.对于求分段函数以及含绝对值符号的函数求定积分，往往将所求定积分化为多个定积分的和或差解答.12. 若存在使不等式成立，则实数的范围为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：,先证明符合题意，若，利用单调性可得，利用导数可得，利用可得结果.详解：由，（1）若，当时，而，此时结论成立；（2）若，由于，所以在是减函数，则.由于与轴的交点为，那么，如果存在使不等式成立，则，由（1）、（2）得实数的范围为，故选C.点睛：本题考查不等式能成立问题，考查利用导数研究函数的单调性， 以及分类讨论思想的应用，属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。13. 复数为纯虚数，则的取值是_【答案】【解析】分析：根据纯虚数的定义可得，从而可得结果.详解：复数为纯虚数，解得，故答案为.点睛：本题主要考查复数的基本概念，函数与方程思想，意在考查系数利用所学知识解决问题的能力，属于简单题.14. 在某次考试中，学号为的同学的考试成绩，且，则这四位同学的考试成绩的所有_种；【答案】种【解析】先从集合里任意取四个数，共有种方法.再把这四个成绩分配给四个同学，由于要满足，所以只有一种分配方法，所以由乘法分步原理得这四位同学的考试成绩共有151=15种，故填15.15. 若在展开式中，第四项是常数项，则的值为_；【答案】18【解析】试题分析：设展开式中第项为，则，又展开式中第4项是常数项，时，.考点：考查二项式定理.计算能力.点评：易出现以下错误：展开式中第4项是常数项，时，.16. 将集合，且中所有的数按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： 3 5 6 9 10 12 - - - - - - - -则该数表中，从小到大第50个数为_【答案】【解析】分析：用表示，利用前几个数找到其规律，是每一个的横坐标从增加到对应的行数，而纵坐标为行数，由，则是第行的第个数，即可求出.详解：用表示，如表的规律为：，则第个数是第行的第五个数，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （1）用分析法证明：;（2）如果是不全相等的实数，若成等差数列，用反证法证明：不成等差数列.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）利用分析法证明，平方、化简、再平方，可得显然成立，从而可得结果；（2）假设成等差数列，可得，结合可得，与是不全相等的实数矛盾，从而可得结论.详解：（1）欲证只需证：即只需证：即显然结论成立故（2）假设成等差数列，则由于成等差数列，得那么，即由、得与是不全相等的实数矛盾。故不成等差数列。18. 已知为实数，函数,若.()求函数的单调区间；() 证明对任意的，不等式恒成立.【答案】（1）单调增区间为，；单调减区间为（2）见解析【解析】分析：() 求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；() 对任意的，不等式恒成立,等价于的最大值与的最小值的差小于，利用导数研究函数的单调性，求出其最值即可的结果.详解：() ，即 由，得或由，得因此，函数的单调增区间为，；单调减区间为 () 由()的结论可知，在上的最大值为，最小值为；在上的的最大值为，最小值为在上的的最大值为，最小值为 因此，任意的，恒有点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于中档题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.19. 甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是.()现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率；()用表示乙投篮3次的进球数,求随机变量的概率分布及数学期望；【答案】（1）（2） 【解析】分析：()综合利用独立事件的概率公式与对立事件的概率公式求解即可；() 随机变量服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式求解即可.详解：()记甲投篮1次投进为事件A1 , 乙投篮1次投进为事件A2 , 丙投篮1次投进