2018-2019学年北京市清华附中高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足（1i）2+z（1i）+i0，则z（）ABCD2已知集合Ax|log2x2，Bx|2x8，则AB（）A1，3B（0，3C1，4）D（0，4）3将420名工人编号为：001，002，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005这420名工人来自三个工厂，从001到200为A工厂，从201到355为B工厂，从356到420为C工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（）A28，23，9B27，23，10C27，22，11D28，22，104已知公差不为0的等差数列an的首项a13，若a2，a3，a6成等比数列，则an的前5项之和为（）A23B25C43D455设曲线yax2blnx在x1处的切线方程为y5x2，则ab的值分别为（）A2，1B2，1C3，1D3，16在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，若2，则（）A B C D 7已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2A9B9C18D278设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A，B两点，若|AB|，且|AF|BF|，则（）A3BC2D49若实数x，y满足，则x2+（y）2的取值范围是（）A1，2BCD1，10在4，4上随机地取一个数m，则事件“直线xy+m0与圆（x1）2+y22有公共点”发生的概率为（）ABCD11已知P为双曲线C：1（a0，b0）右支上一点，A为其左顶点，F（4，0）为其右焦点，满足|AF|PF|，PFA60，则点F到PA的距离为（）ABCD12在三棱锥ABCD中，BCBDACAD10，AB6，CD16，点P在平面ACD内，且BP，设异面直线BP与CD所成角为，则sin的最小值为（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f（x），则yf（x）x的零点个数为 14已知数列an满足a12，（n1）annan1+n（n1）（n2），则an的通项公式为 15某校开设A类选修课4门，B类选修课3门，一位同学从中选3门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有 种16已知函数f（x）ln（x+1）（x0）与g（x）2xa的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）必考题：60分。17（12分）在ABC中，AB3，AC1，A60（1）求sinACB；（2）若D为BC的中点，求AD的长度18（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，E是PD的中点，M是EC的中点，点Q在线段PC上且PQ3QC（1）证明QM平面PAB；（2）当PBA为多大时，在线段PC上存在点F使得EF平面PAD且EF与平面PBC所成角为45同时成立？19（12分）设盒子中装有6个红球，4个白球，2个黑球，且规定：取出一个红球得a分，取出一个白球得b分，取出一个黑球得c分，其中a，b，c都为正整数（1）当a1，b2，c3时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的分布列；（2）当a1时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量为取出此球所得分数，若E，D，求b和c20（12分）设椭圆C： +y21的右焦点为F，过点（m，0）（|m|1）作直线l与椭圆C交于A，B两点，且坐标原点O（0，0）到直线l的距离为1（1）当m1时，求直线AF的方程；（2）求ABF面积的最大值21（12分）已知函数f（x）ln（ax+1）（a0，a为常数，x0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0a时，求证：f（x）0（二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则技所做的第一题计分作答时请写清题号选修44：坐标系与参数方程（10分）22（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），点M（2，4）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22acos0（a0）（1）当a1时，求曲线C的直角坐标方程；（2）设曲线C与直线l交于点A，B，若|AB|2|MA|MB|，求a的值选修45：不等式选讲（10分）23已知f（x）|x+2|ax3|（1）当a2时，求不等式f（x）2的解集；（2）当0a3时，若x（0，2），求证：f（x）x12018-2019学年北京市清华附中高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若复数z满足（1i）2+z（1i）+i0，则z（）ABCD【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由（1i）2+z（1i）+i0，得z（1i）i，z故选：C【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题2已知集合Ax|log2x2，Bx|2x8，则AB（）A1，3B（0，3C1，4）D（0，4）【分析】根据题意化简集合A、B，利用交集的定义写出AB【解答】解：集合Ax|log2x2x|0x4，Bx|2x8x|1x3，则ABx|0x3（0，3故选：B【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题3将420名工人编号为：001，002，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为60的样本，且随机抽得的号码为005这420名工人来自三个工厂，从001到200为A工厂，从201到355为B工厂，从356到420为C工厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（）A28，23，9B27，23，10C27，22，11D28，22，10【分析】求出抽样间隔为7，根据第一组抽得号码数，计算从001到200和201到355以及356到420应抽取的人数即可【解答】解：抽样间隔为420607，且第一组抽得号码为005，则从001到200应抽取2007284，即抽取28名；从201到355应抽取3557505；即抽取512823名；从356到420应抽取60519（名）故选：A【点评】本题考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题4已知公差不为0的等差数列an的首项a13，若a2，a3，a6成等比数列，则an的前5项之和为（）A23B25C43D45【分析】根据题意，设等差数列an的公差为d，结合等比中项的性质可得（a3）2a2a6，则有（3+2d）2（3+d）（3+5d），解可得d的值，结合等差数列前n项和公式计算可得答案【解答】解：根据题意，设等差数列an的公差为d，若a2，a3，a6成等比数列，即（a3）2a2a6，则有（3+2d）2（3+d）（3+5d），解可得d6或d0（舍），则an的前5项之和S55a1+（6）45；故选：D【点评】本题考查等差数列的前n项和以及等比数列的性质，关键是求出等差数列的公差，属于基础题5设曲线yax2blnx在x1处的切线方程为y5x2，则ab的值分别为（）A2，1B2，1C3，1D3，1【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，解关于a，b的方程，可得a，b的值【解答】解：f（x）ax2blnx的导数为f（x）2ax，在x1处的切线斜率为k2ab，由题意可得2ab5，且f（1）a3，解得a3，b1，故选：C【点评】本题考查导数的几何意义：求切线的斜率，考查直线方程的应用，正确求导是解题的关键6在平行四边形ABCD中，O为AC与BD的交点，若2，则（）A B C D 【分析】选择向量和为基向量，将，全部用基向量表示即可得到【解答】解：2，2（），（2+） 2（）+（2）（2）故选：B【点评】本题考查了平面向量基本定理，属中档题7已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2A9B9C18D27【分析】由三视图还原原几何体，可得原几何体为四棱锥，再由正方形及三角形的面积求解【解答】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为四棱锥，则该棱锥的表面积为S故选：B【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题8设抛物线C：y24x的焦点为F，直线l过F且与抛物线C交于A，B两点，若|AB|，且|AF|BF|，则（）A3BC2D4【分析】由已知求得F，设AB所在直线方程为yk（x1）（k0），由抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得k，可得直线方程，求出A，B的横坐标，得到|AF|，|BF|，则答案可求【解答】解：由y24x，得F（1，0），设AB所在直线方程为yk（x1）（k0），联立，得k2x2（2k2+4）x+k20设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|，2+，解得k化为3x210x+30，解得x13，|AF|3+14，|BF|，则故选：A【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题9若实数x，y满足，则x2+（y）2的取值范围是（）A1，2BCD1，【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+（y）2的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，）距离的平方求解【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，A（1，0），B（2，1），联立，解得C（1，），x2+（y）2的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，）距离的平方，由图可知，其最小值为P到直线：x1距离的平方，1；最大值为：x2+（y）2的取值范围是1，故选：D【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数