圆周角(二) 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相 等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 顶点在圆上，两边与圆相交的角,叫圆周角 . 圆周角的概念 圆周角定理 推论：推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等半圆或直径所对的圆周角都相等, ,都等于都等于90; 90; 9090的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径. . 复习巩固 1.如图，在O中ABC=50， 则AOC等于（ ） A.50； B.80； C.90； D.100 A C B O D 2.如图，ABC是等边三角形， 动点P在圆周的劣弧AB上，且不 与A、B重合，则BPC等于（ ） A.30； B.60； C.90； D.45 C A B P B 巩固练习 小明想用小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图，直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形。根据下图， 你能判断哪个是半圆形？为什么？你能判断哪个是半圆形？为什么？ 答：图（答：图（2 2）是半圆形。理由是：）是半圆形。理由是：9090 的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。 3.如图,ABC的顶点A、B、C都在 O上,C30 ,AB2,则O 的半径是 。 C A B O 2 巩固练习 例例1. 1. 如图，如图， O O 直径直径ABAB为为1010cmcm，弦，弦ACAC为为6 6cmcm，ACBACB 的平分线交的平分线交 O O 于于 D D ，求，求BCBC、ADAD、BDBD的长的长 又在RtABD中，AD2+BD2=AB2， AB C D O 解：AB是直径， ACB= ADB=90 在RtABC中， CD平分ACB， AD=BD. 10 6 ） ） 8 例题讲解 AD= BD. 1.1.如图如图, ,以以O O的半径的半径OAOA为直径作为直径作O O 1 1 ,O,O的的 弦弦ADAD交交O O 1 1 于于C,C,则则OCOC与与ADAD的位置关系是的位置关系是_, OC_, OC 与与BDBD的位置关系是的位置关系是_,_,若若AC=2cm,AC=2cm,则则AD=_cmAD=_cm。 AB C D OO1 垂直 平行 4 随堂练习 3.如图,A=50,ABC=60 ，BD是 O的直径，则AEB等于（ ） A.70 B.110 C.90 D.120 2.2.如图如图AB,ACAB,AC为为 O O的两条弦的两条弦, , 延长延长CACA到到D,D,使使AD=AB,AD=AB,若若ADB=30ADB=30 0 0. . 则则BOC=_BOC=_。 CA B O D E B A CB O D E 1200 随堂练习 分析：同一条弧所对 的圆周角有很多，圆 周角的位置灵活多变 ，可以把注意力放在 圆周角所对的弧上. 4. 如图，AB是O的直径, C 和D是圆上的两点 ,若ABD=40,求BCD的度数. AB O C D 40 随堂练习 例2. 如图，AB为O的一条固定直径，自上半圆 上一点C，作弦CDAB，OCD的平分线交O于 点P，当点C在半圆（不含A,B两点）上移动时， 问：点P的位置是否变化？ E 分析 延长CO与O交于点E， 易证CA=DA，又CA=BE，则 DA=BE，由OCD的平分线 得DP=PE，则AP=BP，所以 点P为半圆的中点. 例题讲解 1.(08青海西宁)如图,O中,弦DC、AB的延 长线相交于点P,如果AOD=1200,BDC=250,那么 P= A D C P B O 350 走进中考 2.(08山东泰安)如图,在O中,AOB的度数 为m.C是ACB上一点,D、E是AB弧上不同的两点 (不与A,B两点重合),则D+E的度数为（ ） A.m B C D C B O DE A 走进中考 B 如如图，图，ABAB是是 O O的直径，的直径，BDBD是是 O O的的弦，延长弦，延长BDBD到到C C， 使使AC=ABAC=AB。BDBD与与CDCD的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ A A B B C C D D O O 分析：由于分析：由于ABAB是是O O的直的直 径，故连接径，故连接ADAD。由直径所由直径所 对的圆周角是直角，可得对的圆周角是直角，可得 ADADBCBC. .又因为又因为ABCABC中中 ，AC=ABAC=AB，所以由等腰三所以由等腰三 角形的三线合一，可证得角形的三线合一，可证得 BD=CDBD=CD。 解：解：BD=CDBD=CD。 理由是：连接理由是：连接ADAD。 ABAB是是 OO的的直径，直径， ADB=90ADB=90 ， 即即AD AD BCBC。 又又AC=ABAC=AB。 BD=CDBD=CD 如如图，图，ABAB是是 O O的直径，的直径，BDBD是是 O O的的弦，延长弦，延长BDBD到到C C， 使使AC=ABAC=AB。BDBD与与CDCD的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？ A A B B C C D D O O 分析：由于分析：由于ABAB是是O O的直的直 径，故连接径，故连接ADAD。由直径所由直径所 对的圆周角是直角，可得对的圆周角是直角，可得 ADADBCBC. .又因为又因为ABCABC中中 ，AC=ABAC=AB，所以由等腰三所以由等腰三 角形的三线合一，可证得角形的三线合一，可证得 BD=CDBD=CD。 解：解：BD=CDBD=CD。 理由是：连接理由是：连接ADAD。 ABAB是是 OO的的直径，直径， ADB=90ADB=90 ， 即即AD AD BCBC。 又又AC=ABAC=AB。 BD=CDBD=CD 例1、如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接 圆直径 求证：ABACAEAD 如何证明ABACABACAEADAEAD？ （方法1）（方法2）（方法3） 例1、如图，AD是ABC的高，AE是ABC的外接 圆直径 求证：ABACAEAD 如何证明ABACABACAEADAEAD？ 1. 1.圆周角定义圆周角定义: :顶点在圆上顶点在圆上, ,并且并且两边都和圆相两边都和圆相 交交的角叫圆周角的角叫圆周角. . 3.3.在同圆在同圆( (或等圆或等圆) )中，同弧或等弧所对的圆周角相中，同弧或等弧所对的圆周角相 等等, ,都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角 所对的弧相等。所对的弧相等。 2. 2.半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于9090 90 90的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径 小结小结: : 作业：必做：一张练习题 选作：最后两题 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上, 这个多边形就叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个 多边形的外接圆. A B C D O 如图，四边形ABCD是O 的内接四边形， O是四边形 ABCD的外接圆。 思考：A+C=? 能用圆周角定理证明你的结论吗？ 圆内接四边形的对角互补。 6.如图,O中,A0B = 80,则 ACB=_. 140 A O C B D 随堂练习 7.求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一 半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以 这条边为直径的圆.） AB C O 求证： ABC 为直角三角形. 证明：以AB为直径作O， AO=BO， AO=BO=CO. 点C在O上. 又AB为直径,ACB= 90. 已知： CO 是ABC 的AB边上的中线，且CO= AB ABC 为直角三角形. CO= AB, 随堂练习 1.船在航行过程中,船长常常通过测定角度来 测定是否会遇到暗礁,如图表示灯塔,暗礁分布在 经过A、B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险 临界点,ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的 夹角大于“危险角”时,就有可能触礁。 1）当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时， 船位于哪个区域？为什么？ 2）当船与两个灯塔的夹角 小于“危险角”时，船位于哪个 区域？为什么？ A E O B C P 拓展提高 2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配 合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟 随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门 好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？ 拓展提高 提示:从数学角度看,甲、 乙谁射门好,关键是比较 MAN与MBN的大小,角度越 大,射门的机会越好。 2.如图,在足球比赛中,甲、乙两名队员互相配 合向对方球门MN进攻,当甲带球冲到A点时,乙已跟 随冲到B点,从数学角度看,此时甲是自己直接射门 好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好？ 拓展提高 提示:从数学角度看,甲、 乙谁射门好,关键是比较 MAN与MBN的大小,角度越 大,射门的机会越好。 3.如图,点P是圆上的一个动点,弦AB= ,PC是 APB的平分线,BAC=300. (1)当PAC等于多少度时四边形PACB有最大面积？ 最大面积是多少？ (2)当PAC等于多少度时四边形PACB是梯形？ O C A B P 拓展提高 P1 P2 P3 如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少 种方法？与同学交流一下 D A B C O O O 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 合作交流 分析 连结AO，CO，由勾股 定理不难得到ABD为等腰 直角三角形，则AOC=90 ，又OA=OC，AC长度已知 ，则可以求出半径和直径. 更 一般的情况要用正弦定理来 求. O C B A D 5. 如图，A，B，C三点在O上，ADBC于D，且 AC=5，DC=3，AB= ，求O的直径. 随堂练习