第四章 随机变量、概率和概率分 布 本章内容 第一节 概率的有关概念 第二节 随机变量及其概率分布概述 第三节 常用的概率分布 二项分布、正态分布 第四节 常用的抽样分布 卡方分布、t分布、F分布 第一节 概率的有关概念 样本的实际发生率称为频率。设在相同 条件下，独立重复进行n次试验，事件A出现 f 次，则事件A出现的频率为f/n。 概率：随机事件发生的可能性大小，用 大写的P 表示；取值0，1。 一、频率与概率 frequency and probability 必然事件 P = 1 随机事件 0 P 1 不可能事件 P = 0 P 0.05（5）或P 0.01（1）称为 小概率事件(习惯)，统计学上认为不大可能发生。 二、随机事件 Random events CertainCertain ImpossibleImpossible 0.50.5 0 0 1 1 样本空间（sampling space):随机试 验的所有可能的结果称为样本空间。 频率与概率间的关系： 1. 样本频率总是围绕概率上下波动 2. 样本含量n越大，波动幅度越小，频 率越接近概率。 三、概率的定义 后验概率后验概率（或统计概率） 随机事件的频率 当n无限增大时，随机事件A的频率会稳 定在一个常数P，这个常数就是随机事件A 的概率。 （61） 先验概率（古典概率） 古典概率模型要求满足两个条件： 试验的所有可能结果是有限的； 每一种可能结果出现的可能性相等 。 （62） 四概率的性质 1任何随机事件任何随机事件的概率都是在0与1 之间的正数，即 0 P（A）1 2不可能事件不可能事件的概率等于零，即 P（A ）= 0 3必然事件必然事件的概率等于1，即 P（A）= 1 五概率的加法定理和乘法定理 概率的加法定理概率的加法定理 若事件发生，则事件就一定不发生 ，这样的两个事件为互不相容事件。 两互不相容事件互不相容事件和的概率，等于这两个 事件概率之和，即 （63） （64） 概率的乘法定理 若事件发生不影响事件是否发生，这 样的两个事件为互相独立事件。 两个互相独立事件互相独立事件积的概率，等于这两个 事件概率的乘积，即 （95） （96） 例1：某一学生从个试题中任意 抽取一题，进行口试。如果抽到每一 题的概率为15，则抽到试题或试 题的概率是多少？ 如果前一个学生 把抽过的试题还回后，后一个学生再 抽，则个学生都抽到试题1的概率是 多少？ 计 算 抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一 题的概率和抽到第二题的概率之和，即 四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽 到第一题，其概率应为抽到第一题的概率的 乘积，即 例2：从30个白球和 20个黑球共50个球中 随机抽取两次（放回 抽样），问抽出一个 黑球和一个白球的概 率是多少？ 抽出一个白球的概率为35,抽出一个 黑球的概率为25。 抽出一个黑球和一个白球的情况应包 括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和 先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种 情况。因此： 第二节 随机变量及其概率分布 概述 一、随机变量 每次抛两个硬币，记录正、反面结果；结果可记 录为： 硬币1正面朝上，硬币2正面朝上； 2个正面 硬币1正面朝上，硬币2反面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2正面朝上； 1个正面 硬币1反面朝上，硬币2反面朝上 0个正面 正面数就是一个随机变量，记为x，我们通常对x 的每个取值的概率感兴趣。 对于本例，x的取值为0、1、2。 二、概率分布及其类型 概率分布（probability distribution ）：描述随机变量值xi及这些值对应概率 P(X=xi)的表格、公式或图形。一般用概率 分布函数进行描述。 依不同的标准，对概率分布可作不 同的分类。 （一）离散型随机变量与连续型随机 变量 依随机变量的类型，可 将概率分布分为离散型概率离散型概率 分布分布与连续型概率分布连续型概率分布。心 理与教育统计学中最常用的 离散型分布是二项分布，最 常用的连续型分布是正态分 布。 离散型随机变量（discrete random variable）： 数据间有缝隙，其取值可以列举。 例如抛硬币10次，正面的可能取值x为0、1、2、3 、4、5、6、7、8、9、10 连续型随机变量（continous random variable）数 据间无缝隙，其取值充满整个区间，无法一一列举每 一可能值 例如身高、体重、血清胆固醇含量 （二）经验分布与理论分布 依分布函数的来源，可将概率分布 分为经验分布与理论分布。 经验分布经验分布（empirical distribution） 是指根据观察或实验所获得的数据而编 制的次数分布或相对频率分布。 理论分布理论分布（theoretical distribution） 是按某种数学模型计算出的概率分布。 （三）基本随机变量分布与抽样分 布 依所描述的数据的样本特性，可 将概率分布分为基本随机变量分布与 抽样分布（sampling distribution）。 基本随机变量分布基本随机变量分布是随机变量各 种不同取值情况的概率分布，抽样分抽样分 布布是从同一总体内抽取的不同样本的 统计量的概率分布。 1. 离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的概率分布举例 2. 连续型随机变量的概率分布 变量的取值充满整个数值区间，无 法一一列出其每一个可能值。 一般将连续型随机变量整理成频数 表，对频数作直方图，直方图的每个 矩形顶端连接的阶梯形曲线来描述连 续型变量的频数分布。 如果样本量很大，组段很多，矩形顶端 组成的阶梯型曲线可变成光滑的分布曲线。 大多数情况下，可采用一个函数拟合这一光 滑曲线。这种函数称为概率密度函数（ probability density function） 如果连续型随机变量X的概率密度函数 记为： 则在区间x1,x2 范围内的概率可由微 积分函数定义 第三节 常用的概率分布 离散型随机变量分布 一、二项分布、泊松分布 连续型随机变量分布 二、正态分布 一二项分布 二项分布（ bionimal distribution） 是一种具有广泛用途 的离散型随机变量的 概率分布，它是由贝 努里创始的，因此又 称为贝努里分布。 （一）二项试验 满足以下条件的试验称为二项试 验： 一次试验只有两种两种可能的结果结果， 即成功和失败； 各次试验相互独立独立，即各次试验 之间互不影响； 各次试验中成功成功的概率相等，失失 败败的概率也相等相等。 （二）二项分布函数 二项分布是一种离散型随机变 量的概率分布。 用 n 次方的二项展开式来表达 在 n 次二项试验中成功事件出现 的不同次数（X0，1）的概率 分布，叫做二项分布函数。 二项展开式的通式（即二项分布函数）： （67 ） 二项展开式的要点： 项数：二项展开式中共有n1项 。 方次：p的方次，从n0为降幂； q的方次从0n为升幂。每项p与q方 次之和等于n。 系数：各项系数是成功事件次数 的组合数。 例：从男生占/的学校中随机 抽取个学生，问正好抽到个 男生的概率是多少？最多抽到 个男生的概率是多少？ 解：将n=6，p=2/5，q=3/5，X=4 代入（67）式，则恰好抽到4个男 生的概率为 最多抽到个男生的概率，等于 个也没有抽到、抽到个和抽到 两个男生的概率之和，即 （三）二项分布图 以成功事件出现的次数为横坐 标，以成功事件出现不同次数的概 率为纵坐标，绘制直方图或多边图 ，即为二项分布图。 二项分布是离散型分布，其概 率直方图是跃阶式。 二项分布的性质 从概率直方图可以看到，二项 分布有如下性质： 当p=q时，图形是对称的。 当pq时，直方图呈偏态。 pq与pq时的偏斜方向相反。 （四）二项分布的平均数和标准差 如果二项分布满足pq且 nq5（或 者pq且 np5时，二项分布接近于正态 分布。可用下面的方法计算二项分布的平 均数和标准差。 二项分布的平均数为 二项分布的标准 差为 （68） （69） （五）二项分布的应用 二项分布函数除 了用来求成功事件恰 好出现X次的概率之 外，在教育中主要用 来判断试验结果的机 遇性与真实性的界限 。 例如，一个学生凭猜测做10个是 非题，平均可以猜对5题。什么情况 下可以说他是真会而不是猜测呢？ 这种问题需要用累积概率来算。 当做对题或题以上时，累积概 率为0.989，也就是说，猜对题或 10题的概率不足0.05。 表6-1 一个学生做10个正误题做对不同题数的概率 分布 做对题对题 目 数 出现现方式 数 概率P(X)累积积概率 010.0010.001 1100.0100.011 2450.0440.055 31200.1170.172 42100.2050.377 52520.2460.623 62100.2050.828 71200.1170.945 8450.0440.989 9100.0100.999 1010.0011.000 总总和10241.000 例题：一个教师对8个学生的作 业成绩进行猜测，如果教师猜对的 可能性为13，问： 平均能猜对几个学生的成绩 ？ 假如规定猜对95，才算这 个教师有一定的评判能力，那么这 个教师至少要猜对几个学生？ 解： Poisson分布概率的计 算 Poisson分布的性质（1） 一、Poisson分布的均数与方差相 等 即2=m 二、Poisson分布的可加性 Poisson分布的性质（2） 三、Poisson分布的正态近似 m相当大（20）时，近似服从 正态分布：N（m， m ） 四、二项分布的Poisson分布近似 1. 概率密度函数 二 正态分布 (Normal Distribution） 2. 概率分布函数 （1）正态分布在横轴上方均数处最高。 （2） 正态分布以均数为中心，左右对称 。 （3）正态分布由参数和确定。是位置 参数，当不变时，越大，则曲线沿横轴越向 右移动；反之，越小，曲线沿横轴越向左移动 。是变异度参数，当不变时，越大，表示 数据越分散，曲线越平坦；越小，表示数据越 集中，曲线越陡峭。 （4）正态分布曲线与X轴所围成的面积为1。 （5）在的区间内占总面积的68.27%， 在1.96的区间内占总面积的95%；在 2.58的区间内占总面积的99%。 正态分布特征 标准正态分布 标准正态离差 标准正态分布：N(0,1) 此概率密度函数实质上就是正态分布 的概率密度函数中=0，=1的情形。 从几何意义上说，此变换实质上是作了 一个坐标轴的平移和尺度变换，使正态 分布具有平均数为=0，标准差=1。 这种变换称为标准化正态变换。因此将 这种具有平均数为=0，标准差=1的 正态分布称为标准正态分布，记为N（0 ，1）。 普通正态分布与标准正态分 布 X Z (Z) (Z) 标准正态分布的累积概率函 数 正态分布概率密度曲线在-1+1的区间内 占总面积的68.27%，在-1.96+1.96的区间内 占总面积的95%；在-2.58 +2.58的区间内占 总面积的99%。 曲线下面积分布规律 0-1 1 -1.96 1.96-2.582.58 68.27% 95.00% 99.00% -+-1.96+1.96-2.58 +2.58 68.27% 95.00% 99.00% Z值分布曲线下面积与概率 正态分布的特征，归纳起来有两点 ： 一是对称性（symmetry） 若分布不对称就是偏态，长尾拖向 右侧（变量值较大的一侧）叫做正偏态,或 右偏态；