复习 逐阶阶求导导然后归纳 高阶导数的间接求法：利用已知的高阶导阶导 数公式 高阶导阶导 数的直接求 法： 高阶导数的运算法则和莱布尼茨公式 (注意 的情况) 用莱布尼茨公式 进行因式分解，化成一次的形式 高阶的三角函数，降幂处理 第四节节隐函数及由参数方程 确定的函数的导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、由参数方程确定的函数的导数 四、相关变化率 一、隐隐函数的导导数 定义义: 隐隐函数的显显化 问题问题 : 隐隐函数不易显显化或不能显显化如何求导导? 如 由方程 所确定的函数 称为隐为隐 函数 的形式称为显为显 函数 例1 1) 隐隐函数求导导法则则 : 用复合函数求导导法则则直接对对方程两边边求导导. 求由方程 所确定的隐隐函数 y 的导导数 解 解得 方程两边对边对 x 求导导得 ： 由原方程知 时时， 解 故 设设 由方程 确定，例1 2) 二阶阶可导导， 求 方程两边对边对 x 求导导: 设设 由方程例1 3) 确定, 求 解 解 设设曲线线 C 的方程为为 求过过 C 上例2 一点 的切线线方程，并证证明曲线线 C 在该该点的 法 线通过过原点. 方程两边对边对 x 求导导: 所求切线线方程为为 法线线方程为为即 显显然通过过原 点. 解 设设 求 在点(0,1) 处处的值值.例3 方程两边对边对 x 求导导: 方程(1) 两边边再对对 x 求导导得 求其反函数的导导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边边同时对时对 y 求导导 思考题题 设设 二、对数求导法 观观察函数 方法: 先在方程两边边取对对数, 然后利用隐隐函数的求导导 方法求出导导数. -对对数求导导法 适用范围围: 多个函数相乘和幂幂指函数 的情形. 解等式两边边取对对数得 例4 设设 上式两边对边对 x 求导导得： 解等式两边边取对对数得 例5 设设 上式两边对边对 x 求导导得： 一般地 例6 1) 设设 2) 设设 3) 设设 三、由参数方程所确定的函数的导导数 例如 消去参数 问题问题 : 消参困难难或无法消参如何求导导? 若参数方程 确定 y 与 x 的函数关系， 称此函数为为由参数方程确定 的函数. 由复合函数及反函数的求导法则得 则 在方程 中， 再设函数 都可导，且 设函数 具有单调 连续的反函数 例：方程组 所确定的函数 当t =0 时可导，但其导函数不能用普通的公式求得. 例： 抛射体运动轨动轨 迹的参数方程为为 求抛射体在时时刻 t 的运动动速度的大小和方向. 解: 速度的水平分量为为 垂直分量为为 故抛射体速度大小 先求速度大小: 再求速度方向(即轨 轨迹的切线线方向 ): 设设 为为切线倾线倾 角, 则则 例： 抛射体运动轨动轨 迹的参数方程为为 求抛射体在时时刻 t 的运动动速度的大小和方向. 在刚刚射出 (即 t = 0 )时时, 倾倾角为为 抛射体轨轨迹的参数方程 速度的水平分量 垂直分量 达到最高点的时时刻高度 落地时时刻抛射最远远距离 速度的方向 例7 1）求摆线摆线 处处的方程. 解 所求切线线方程为为 当 时时， 解:化为为参数方程： 2) 求螺 线线 在对应对应 于 的点处处的切线线方程. 当时对应时对应 点 切线线方程为为 补充： 极坐标系：在平面内由极点、极轴和极径组 成的坐标系。 (阿基米德螺线) (玫瑰线) (心脏形线) 练习： 设 例8. 设设由方程 解: 方程组组两边对边对 t 求导导,得 求确定函数 故 若函数 二阶可导， 解 注意： 例9 求由方程 表示的函数的二阶导阶导 数. 四、相关变变化率 相关变变化率问题问题 解法: 相关变变量的关系式 对对 t 求导导 相关变变化率之间间的关系式求出未知的相关变变化率 称为为相关变变化率 已知其中一个变变化率时时如何求出另一个变变化率? 相关变变化率问题问题 : 均为为可导导函数 之间间有联联系之间间也有联联系 例10 一汽球从离开观观察员员500m处处离地面铅铅直上升 ， 解 仰角增加率 （相关方程） 上升速率为为140m/分钟钟. 当汽球高度为为500m 时时， 观观 察员视线的仰角增加率是多少？ 设设t 时时刻，气球上升的高度为为 h, 观观察员视线员视线 的仰角为为 ， 则则 上式两端对对 t 求导导得： 当 h = 500m 时时， 思考: 当气球升至500m时时停住,有一观测观测 者以 100m/min 的速率向气球出发发点走来, 当距离为为 500m时时, 仰角的增加率是多少 ? 提示: 对对 t 求导导 已知 求 试试求当容器 例11. 有一底半径为为 R cm , 高为为 h cm 的圆锥圆锥 容器 , 今以 自顶顶部向容器内注水 , 内水位等于锥锥高的一半时时水面上升的速度. 解: 设时设时 刻 t 容器内水面高度为为 x , 而 故 水的体积为积为 V ,则则 当 时时 ， 内容小结结 1. 隐隐函数求导导法则则直接对对方程两边边求导导 2. 对对数求导导法:适用于幂幂指函数及某些用连连乘, 连连除表示的函数 3. 参数方程求导导法 极坐标标方程求导导 4. 相关变变化率问题问题 列出依赖赖于 t 的相关变变量关系式 对对 t 求导导 相关变变化率之间间的关系式 转转化 求高阶导阶导 数时时,从低到高每次都用参数方程求导导公式 思考与练习 提示: 分别求 1 不计空气的阻力，以初速度 ，发射角 发射 炮弹，其运动方程为 求(1) 炮弹在时刻 的运动方向； (2) 炮弹在时刻 的速度大小. (2) 炮弹在时刻 沿x，y 轴方向的分速度为 炮弹在时刻 的速度为 2 求对对数螺线线在点 切线线的直角坐标标方程。 解： 处处的 曲线线在点处处的切线线的斜率为为 点的直角坐标为标为 因此，所求切线线方程为为 解 水面上升之速率 4000m 是长为长为 400m,顶顶角为为 的水槽，问问水深20m 时时 ， 3 河水以 的体流量流入水库库中，水库库的形状 水面每小时时上升几米？ 当 时， 上式两端对 t 求导得： 设时刻 t 水深为 水库内水量为 则 4. 设设求 提示: 分别别用对对数微分法求 答案: 5. 设设由方程确定 , 求 解: 方程两边对边对 x 求 导导, 得 再求导导, 得 当时时,故由 得 再代入 得 高等数学 高等数学 P111. 1(3)，2，3(4), 4(4), 7(2), 8(4), 10, 12 作业业