1 机械振动基础 主讲：姜 芳 电话：62338144-118 邮箱：jf0620 机械振动基础 2 图示机构(13-16.swf)，物块质量为m，用不计 质量的细绳跨过滑轮与弹簧相联。弹簧原长为l0，刚度 系数为k，质量不计。滑轮的半径为R，转动惯量为J。 不计轴承摩擦。 试建立: 系统的运动微分方程。 例例12-1112-11 12-4 功率功率方程机械效率 解：解：设弹簧由 设弹簧由自然位置自然位置( (原长原长) )伸长任一长度伸长任一长度 s s。 滑轮滑轮 ，物块物块 ， 则有：则有： 12-4 12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率 弹弹 其中，其中， 代入功率方程，代入功率方程， 即即 整理，得整理，得 相对于坐标相对于坐标 s s 的运动微分方程为：的运动微分方程为： 12-4 12-4 功率、功率方程、机械效率功率、功率方程、机械效率 系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程 平衡位置平衡位置 以平衡位置为参考点，以平衡位置为参考点， 物体下降物体下降 x x 时弹簧的时弹簧的 伸长量为：伸长量为： 令系统平衡时弹簧的伸长量为令系统平衡时弹簧的伸长量为 ，则则 。 即即 系统自由振动微分方程系统自由振动微分方程 对坐标对坐标 s s 的运动微分方程：的运动微分方程： 代入上述方程中，得代入上述方程中，得 6 （1）相对于弹簧原长相对于弹簧原长伸长s，系统的运动微分方程为： 13-4 功率、功率方程、机械效率 （2）相对于系统平衡相对于系统平衡 状态状态伸长x，系统的运 动微分方程为： 平衡位置 7 8 主要内容 1、机械振动概述； 2、单自由度系统的无阻尼自由振动； 3、单自由度系统的有阻尼自由振动。 机械振动基础 9 第一节 机械振动概述 机械振动基础 10 1.1 1.1 机械振动概述机械振动概述 振动是是自然界中常见的现象！ 1.1 机械振动概述 心脏的搏动、耳膜和声带的振动等 汽车、火车、飞机及机械设备的振动 家用电器、钟表的振动 地震以及声、电、磁、光的波动等 股市的升跌和振荡等 11 n n 振动的严格定义振动的严格定义：围绕某一固定位置围绕某一固定位置来回往复来回往复运运 动，并随时间变化的运动。动，并随时间变化的运动。 n n 机械振动机械振动：力学量随时间的变化来回往复地运动。力学量随时间的变化来回往复地运动。 振动振动 ？ 机械振动？机械振动？ 1.1 机械振动概述 12 运载工具的振动； 噪声； 机械设备以及结构的破坏； 地震； 降低机器及仪表的精度。 振动的灾害 13 琴弦振动； 振动的利用 振动沉桩、振动拔桩 以及振动捣固等; 振动压路机; 振动成型机、给料机等。 1.2 1.2 振动系统振动系统 振动系统振动系统 : : 可以产生机械振动的力学系统。可以产生机械振动的力学系统。 任何具有任何具有弹性弹性和和惯性惯性的力学系统均可以产生机械振动。的力学系统均可以产生机械振动。 振动系统的三要素振动系统的三要素: : 激励、系统和响应激励、系统和响应 1.2 振动系统 系统系统 激励激励 输入输入 响应响应 输出输出 15 振动系统振动系统 激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出） 已知：外界激励和系统参数， 1响应分析 ? ? 1.31.3 振动系统的三类问题振动系统的三类问题 求：系统的响应。 位移、速度、加速度等 1.2 振动系统 16 2系统设计和系统辨识 系统已经存在，需要根 据测量获得的激励和响 应识别系统参数，以便 更好地研究系统的特性. 系统尚不存在，需要设 计合理的系统参数，使 系统在已知激励下达到 给定的响应水平. 1.2 振动系统 振动系统振动系统 激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出） 求: 系统参数。 ？ 已知: 系统的激励和响应; 17 振动系统振动系统 激励（输入）激励（输入）响应（输出）响应（输出） 3环境预测 已知: 系统参数和系统响应， 确定: 系统的激励. ? ? 1.2 振动系统 18 u 振动的物理模型： （1）单自由度系统； （2）多自由度系统； （3）连续体系统。 u 振动的分类（按振动产生的原因）： （1）自由振动： （2）受迫振动： 1.3 1.3 振动模型与分类振动模型与分类 自由度 :确定系统在振动 过程中任何瞬时的几何位 置所需的独立坐标的数目 . 1.3 振动模型 系统在持续外激励作用下的振动。 系统仅受初始激励产生的振动； 19 第二节 单自由度系统的无阻尼自由振动 机械振动基础 20 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 n n 自由振动自由振动：系统仅受到初始条件（初始力、初系统仅受到初始条件（初始力、初 始的位移）的激励而产生的振动。始的位移）的激励而产生的振动。 n n 系统的系统的无阻尼自由振动无阻尼自由振动是对实际问题的理论抽是对实际问题的理论抽 象，是一种象，是一种理想条件理想条件，实际的系统都有阻尼。，实际的系统都有阻尼。 如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世如果现实世界没有阻止运动能力的话，整个世 界将处于无休止的振动中。界将处于无休止的振动中。 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 21 Fig.1 单自由度系统无阻尼自由振动模型 l0 st k m m O x 2.1 2.1 振动模型振动模型 m m mg F m m x k m m m mg FN m 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 22 2.2 2.2 振动微分方程振动微分方程 以静平衡位置为坐标原点， 由牛顿第二定律，有 其中， （*） （*）式简化为： 即： 令： 则： 单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 ，固有圆频率 l0 st k m m O x m m mg F m m x Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 23 2.1 2.1 振动微分方程振动微分方程 固有圆频率 单自由度无阻尼 自由振动的微分方程 方程的解： 其中， 为积分常数，由运动初始条件确定。 简谐振动 或 位移可以表示为时间的简 谐函数（正弦或余弦） l0 st k m m O x m m x 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 24 三角公式推导三角公式推导 n n 根据三角函数公式根据三角函数公式 令：令： 则则： 令：令： 25 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.2 振动的特点 u 周期函数： 周期，单位为秒（s ）。 频率，单位为赫兹（Hz）。 单位时间内振动的次数。 ：表示 秒内振动的次数。 ，系统的固有圆频率。 圆频率 2.1 振动微分方程： 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 26 u 振幅：相对于振动中心O点的最大位移。 u 相位（相位角）： u 初相位： 说明： 为待定积分常数，由初始条件确定。 2.2 振动的特点 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.1 振动微分方程： 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 初始 条件 27 u 质点的速度与加速度： 2.2 振动的特点 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 2.1 振动微分方程： 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 27 v t x a 2468101214 -1 -0.5 0.5 1 Fig. 2Fig. 2 v x a 28 练习1 图示的弹簧质量系统，已 知：弹簧的刚度系数为k，质 量块的质量为m，将质量块缓 慢向下移动a0后，在t=0的时 刻突然放开。 试求质量块的运动规律。 m Fig. 3 k m m O x a0 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 29 u无阻尼自由振动: 惯性体由于任何外力原因离惯性体由于任何外力原因离 开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复开平衡位置之后，只受到和位移成比例的恢复 力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有力作用，惯性体将在平衡位置附近按照其固有 频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统频率进行简谐振动。由于没有能量耗散，系统 的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。的机械能保持守恒。振动无限期的进行下去。 u有阻尼自由振动: 对于实际的振动系统，由于对于实际的振动系统，由于 不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能不可避免的存在各种阻尼，振动系统的机械能 不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以不断转化为其他形式的能，造成振幅衰减，以 致最后振动完全停止。致最后振动完全停止。 2 单自由度系统的无阻尼自由振动 30 第三节 单自由度系统的有阻尼自由振动 机械振动基础 31 3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型 Fig.1 单自由度系统 无阻尼自由振动模型 l0 st k m m O x m m x Fig.4 单自由度系统有阻尼自由振动模型 m O x m x c k c k m 阻 尼 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 32 Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k 1. 阻尼 ：振动过程中的阻力。 介质间摩擦力引起的介质阻尼； 材料变形产生的材料内阻尼； 接触面摩擦产生的摩擦阻尼； 电磁作用产生的电磁阻尼。 我们将要讨论的阻尼类型： 粘性阻尼： （粘性）阻尼系数。 3.1 单自由度系统有阻尼的自由振动模型 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 33 Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k 3.2 振动微分方程 m m mg F1F2 以静平衡位置为坐标原点， x 轴向下为正，有 （*） （*）式简化为： 整理上式： 令： 则： 其中， 单自由度有阻尼 自由振动的微分方程 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 34 Fig.4 单自由度系统 有阻尼自由振动模型 m O x m x c k u 振动微分方程的解 微分方程的解设为： ， 该特征方程的两个根为： 故微分方程的通解为： 特征方程可以有三种情况：（1）两个不等的负实根； （2）两个相等的负实根； （3）一对共轭复根。 系统的特征方程为： 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 35 临界阻尼系数临界阻尼系数 n n 使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值，使特征方程有两个相等负实根的阻尼系数值， 称为临界阻尼系数（称为临界阻尼系数（critical damping critical damping coefficientcoefficient）记为）记为 ， 特征方程的两个根为： 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 36 阻尼比阻尼比 阻尼比, 又称相对阻尼系数。 无量纲, 是一个重要的振动参数。 ，表征一个振动系统阻尼的大小表征一个振动系统阻尼的大小： ，表示大阻尼/超临界阻尼/强阻尼； ， 表示临界阻尼， ，表示小阻尼。 37 原来的微分方程原来的微分方程 可以改写成：可以改写成： 特征根：特征根： 3.3 微分方程和解的另一种表达方式 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 38 （1 1） ，超临界阻尼，超临界阻尼/ / 强阻尼的情形强阻尼的情形. . 方程的两个特征根均为实数，方程的两个特征根均为实数， 与初始条件与初始条件 有关，有关， 特征根：特征根： 3.4 讨论 方程的通解为：方程的通解为： 3 单自由度系统的有阻尼自由振动 39 大阻尼系统的运动特点：大阻尼系统的运动特点： 大阻尼的运动不 是振动，而是一 种非周期性的指 数衰减。