第第7 7章章 一阶电路一阶电路 7.1 动态电路概述 7.2 电路中起始条件的确定 7.3 一阶电路的零输入响应 本章重点 7.7 脉冲序列作用下的RC电路 7.4 一阶电路的零状态响应 7.5 一阶电路的全响应 7.6 求解一阶电路的三要素法 稳态分量 暂态分量 本章重点 零输入响应 初始值的确定 零状态响应 全响应 返回目录 S未动作前（稳态） S接通电源后很长时间（新稳态） i = 0 , uC = 0 i = 0 , uC= US 一、电路的过渡过程 7.1 动态电路概述 + uCUS R C i 动态电路（dynamic circuit）: 用微分方程描述的电路 S uCUS R C i + 初始状态 过渡状态 新稳态 t1 US uC t 0 ? 过渡过程（transient process）： 电路由一个稳态过 渡到另一个稳态需要经历的过程。 过渡状态（瞬态、暂态） 二、过渡过程产生的原因 能量不能跃变 1. 电路内部含有储能元件 L ，M ， C。 S uCUS R C i + 2. 电路结构发生变化。 三、分析方法 时域分析法 复频域分析法 时域分析法 经典法 拉普拉斯变换法 状态变量法 四、一阶电路（First-order Circuit） 由一个独立储能元件组成的电路, 描述电路的方 程是一阶微分方程。 开关闭合 开关断开 参数变化 换路 + - uS R1 R2R3 S 思考： 有无过渡过程？ 返回目录 一、 t = 0+与 t = 0-的概念 换路在 t=0 时刻进行 0- t = 0 的前一瞬间 0+ t = 0 的后一瞬间 7.2 电路中起始条件的确定 初始条件（initial condition）为 t = 0+时u ，i 及其各 阶导数的值。 0-0+0 t f(t) 二、换路定则（switching law） q=C uC 当t = 0+时 i()为有限值时 q (0+) = q (0- )+ i uCC + - 1. 电容 q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-) 结论 ： 换路瞬间，若电容电流保持为有限值，则电容电 压（电荷）换路前后保持不变。 电荷守恒 当u为有限值时 L (0+)= L (0-) iL(0+)= iL(0-) 磁链守恒 i u L + - L 2. 电感 (0+)= (0-) iL(0+)= iL(0-) q (0+) = q (0-) uC (0+) = uC (0-) 结论： 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，则电感 电流（磁链）换路前后保持不变。 小结： 换路定则 换路定则成立的条件。 注意 L (0+)= L (0-) iL(0+)= iL(0-) 磁链守恒 三、电路起始条件（initial condition）的确定 由换路定则 uC (0+) = uC (0-) 画0+电路，求iC(0+) 求 uC (0+) 和 iC (0+) t = 0时打开开关S ？ 解 由换路前电路得 例1 + - 10V i iC S 10k 40k uC - + + - 10V i iC + 8V - 10k t = 0时闭合开关S，求uL(0+)。 iL(0+)= iL(0) = 2A 需由0+电路求uL(0+)。 0+电路为 iL(0+) + uL(0+) - L10V 14 解 例2 iL + uL - L10V S 14 求起始值的一般步骤: （1）由换路前电路（一般为稳定状态）求 uC(0-) 和 iL(0-)。 （2） 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 （3） 画0+等值电路。 （4） 由0+电路求所需各变量的0+值。 b. t=0+时刻电容电压（电感电流）用电压源（电流源） 替代。方向同原假定的电容电压、 电感电流方向。 a. 换路后的电路 c. 独立源取t=0+时刻值。 解 由换路定则得 对开关S打开前的电路，用相量法计算： 计算t = 0时iL的值 已知： 例3 iL + uL - LS R + - uS 由 0+电路求uR(0+)和uL(0+)。 + uL(0+) - R + - 返回目录 7.3 一阶电路的零输入响应 零输入响应（Zero-input response）：激励（电源）为零， 由初始储能引起的响应。 一、 RC放电电路 解 uC = uR= Ri 设 一阶齐次常微分方程 已知 uC (0-)=U0 ，求 uC ，i 。 i S(t=0) + uR C + uC R 特征根（characteristic root）为 特征方程（characteristic equation）为 RCp+1=0 则 起始值 uC (0+) = uC(0-)=U0 A=U0 由起始值定待定系数 令 =RC , 称为一阶电路的时间常数（time constant）。 t U0 uC 0 I0 t i 0 时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短。 = RC 大 过渡过程时间的长 小 过渡过程时间的短 定性讨论（设电压初值一定）： R 大（ C不变） i = u/R 放电电流小 放电时间长 U0 t uC 0 小 大 C 大（R不变） w = 0.5Cu2 储能大 工程上认为，经过 3 5 的时间过渡过程结束。 U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 ：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。 t 0 2 3 5 U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5 t1时刻曲线的斜率等于 U0 t uC 0 t1t2 按此速率，经过 秒后uC减为零。 次切距的长度 t2-t1 = 分析： 能量关系: 电容C不断释放能量被R 吸收，直到全部消耗完毕。 设uC(0+)=U0 电容放出能量 电阻吸收能量 uCR + - C 二、RL电路的零输入响应 特征方程 Lp+R=0 特征根 p = 由初始值 i(0+)= I0 定待定系数A A= i(0+)= I0 i (0+) = i (0-) = i S(t=0) USL + uL RR1 令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数 设i(0)一定： L大 起始能量大 R小 放电过程消耗能量小 放电慢 大 I0 t i 0 工程上认为，经过 3 5 的时间过渡过程结束。 -RI0 uL t 0 定性讨论R、L对过渡过程的影响。 iL (0+) = iL(0) = 1 A uV (0+)= - 10000V 造成 V损坏。 t=0时 打开开关S， 电压表坏了,试分析其原因。 电压表量程为50V 分析 改进措施 例 iL S(t=0) + uV L=0.4H R=10 V RV 10k 10V iL S(t=0) L=0.4H R=10 10V 续流 二极管 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比。 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初始值引起的 响应，都是一个指数衰减函数。 2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC RL电路 = L/R 3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 小结 返回目录 零状态响应（zero-state response）：储能元件初始能量为零， 在激励（电源）作用下产生的响应。 一、直流激励下的零状态响应 列方程 7.4 一阶电路的零状态响应 一阶非齐次线性常微分方程 。 解答形式为： 通解 特解 i S(t=0) US +- uR C + - uC R uC (0-)=0 1. RC电路的零状态响应 与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量 全解 uC (0+)=A+US= 0 A= - US 由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A 齐次方程 的解 ：特解（强制分量） = US ：通解（自由分量，暂态分量） i t 0 US 稳态分量 -US 暂态分量 uC t 0 全解 强制分量(稳态) 自由分量(暂态) 能量关系：电源提供能量一部分消耗在电阻上， 一部分储存在电容中，且wC = wR 充电效率为50% R C 开关S 在t=0时闭合， 求uC 的零状态响应。 解法1： 整理得 非齐次线性常微分方程 通解 特解 解答形式为 + - 4/5F i 1 11 2V 例 + - 2i S + - uC u 由初始值定系数 A= 1.5 特征根 p= 1 特征方程 特解(稳态分量) 2V + - i 1 11 + - 2i + - 稳态电路 由稳态电路得 解法2： （先对开关左边电路进行戴维南等效） + - 4/5F i 1 11 2V+ - 2i S + - uC u + - 4/5F 1/41 1.5V + - uC 2. RL电路的零状态响应 解 iL(0)=0求: 电感电流iL(t)。 已知 uL US t 0 t iL 0 iL S(t=0) US + uR L + uL R 二、正弦电源激励下的零状态响应 强制分量（稳态分量） 自由分量（暂态分量） u t uS 接入相位角 一阶齐次常微分方程 解答形式为 iL(0)=0 uS + - iL S(t=0) L + uL R 用相量法计算稳态分量 i 定系数 jXL + - R 相量模型 解答为 讨论几种情况： （1）u =0 即合闸时 u = 合闸后，电路直接进入稳态，不产生过渡过程。 （2） u- = /2 即 u = /2 A = 0 无暂态分量 当 u= +/2时 i -Im Im i /2 i t 0 i 波形为 小结： 1. 一阶电路的零状态响应是储能元件无初始储能时 由输入激励引起的响应。 2. 时间常数与激励源无关。 3. 线性一阶电路的零状态响应与激励成正比。 返回目录 7.5 一阶电路的全响应 全响应（complete response）：非零起始状态的电路受到 外加 激励所引起的响应。 非齐次线性常微分方程 = RC 暂态解 解答形式为 稳态解 i S(t=0) US + uR C + uC R uC (0-)=U0 强制分量(稳态分量) 自由分量(暂态分量) （1） 全响应 = 强制分量（稳态分量）+自由分量（暂态分量） uC (0+) = A+US=U0A = U0 US 由起始值定A： U0 uC 全响应 t uC 0 稳态分量 US USU0 暂态分量 一、一阶电路的全响应及其两种分解方式 （2） 全响应= 零状态响应 + 零输入响应 零状态响应 零输入响应 可表示为 = + i S(t=0) USC + uC R uC (0-)=U0 i S(t=0) USC + uC R uC (0-)=0 uC (0-)=U0 i S(t=0) C + uC R t uC 0 US 零状态响应 零输入响应 U0 零状态响应 零输入响应 全响应 例 如图所示