数学(江苏省专用) 章 复 数 1.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 . A组 自主命题江苏卷题组 五年高考 答案 解析 本题考查复数的运算. z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1, |z|= = . 2.(2014江苏,2,5分,0.95)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 . 答案 21 解析 z=(5+2i)2=21+20i,故z的实部为21. 3.(2013江苏,2,5分,0.919)设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为 . 答案 5 解析 z=(2-i)2=3-4i,|z|= =5. 4.(2015江苏,3,5分,0.885)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为 . 答案 解析 设z=a+bi(a,bR),则z2=a2-b2+2abi, 由复数相等的定义得 解得 或 从而|z|= = . 5.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 . 答案 5 解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5. 考点一 复数的有关概念及几何意义 1.(2017课标全国文改编,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于第 象限. B组 统一命题省(区、市)卷题组 答案 三 解析 z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限. 2.(2017课标全国理改编,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|= . 答案 解析 本题考查复数的运算及复数的模. (1+i)z=2i,z= = = =1+i. |z|= = . 一题多解 (1+i)z=2i,|1+i|z|=|2i|,即 |z|=2,|z|= . 3.(2013课标全国理改编,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为 . 答案 解析 |4+3i|= =5,z= = = + i,虚部为 . 4.(2016山东改编,2,5分)若复数z= ,其中i为2虚数单位,则 = . 答案 1-i 解析 z= = =1+i, =1-i. 评析 本题主要考查复数的有关概念及复数运算,计算准确是解题关键. 5.(2016天津,9,5分)i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为 . 答案 1 解析 z= =1-i,z的实部为1. 6.(2016天津理,9,5分)已知a,bR,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为 . 答案 2 解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则 解得 所以 =2. 7.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 . 答案 -2 解析 (1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数, 解得a=-2. 8.(2015湖北改编,1,5分)i为虚数单位,i607的 为 . 答案 i 解析 i607=i4151+3=(i4)151i3=-i, i607的共轭复数为i. 9.(2013湖南理改编,1,5分)复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第 象限. 答案 二 解析 z=i+i2=-1+i的对应点为(-1,1),此点位于第二象限. 10.(2014江西改编,1,5分) 是z的共轭复数,若z+ =2,(z- )i=2(i为虚数单位),则z= . 答案 1-i 解析 令z=a+bi(a,bR),则 =a-bi,所以z+ =2a=2,得a=1,(z- )i=2bi2=-2b=2,得b=-1,z=1-i. 考点二 复数的运算 1.(2017课标全国文改编,2,5分)(1+i)(2+i)= . 答案 1+3i 解析 本题考查复数的基本运算. (1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i. 2.(2017北京文改编,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围 是 . 答案 (-,-1) 解析 本题考查复数的运算. 复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限, a0),则z2=a2-b2+2abi=-4,所以a=0,-b2=-4,故b=2,z=2i. 6.(2016江苏南京、盐城一模,5)已知复数z= (i是虚数单位),则|z|= . 答案 解析 z= = = + i, |z|= = = . 7.(2016江苏泰州一模,4)如图,在复平面内,点A对应的复数为z1,若 =i(i为虚数单位),则z2= . 答案 -2-i 解析 由题意知,z1=-1+2i, 则z2=z1i=(-1+2i)i=-2-i. 8.(2015江苏泰州二模,1)若复数(a-2)+i(i是虚数单位)是纯虚数,则实数a= . 答案 2 解析 纯虚数的实部为零,虚部不为零,所以a-2=0,即a=2. 二、解答题(共10分) 9.(2015江苏新海高级中学月考)已知z是虚数,若w=z+ 是实数,且-1w2. (1)求|z|的值及z的实部的取值范围; (2)设u= ,求证u是纯虚数. 解析 (1)设z=a+bi(a,bR,b0),则w=a+bi+ =a+bi+ =a +bi , 因为w为实数,且b0, 所以1- =0, 从而a2+b2=1,进而|z|=1. 由以上还可以得知w=a =2a, 由条件-1w2, 可得- a1. (2)证明:由(1)得u= = = = = = , 由(1)可知u的实部为0,虚部不为0, 所以u是纯虚数. 一、填空题(每题5分,共20分) 1.(2017南通、泰州高三第一次调研)复数z=(1+2i)2,其中i为虚数单位,则z的实部为 . B组 20152017年高考模拟综合题组 (时间：30分钟 分值：30分) 答案 -3 解析 由z=(1+2i)2得z=1+4i+4i2=-3+4i,所以z的实部为-3. 2.(2017南京、盐城第二次模拟考试,2)若复数z满足z(1-i)=2i(i是虚数单位), 是z的共轭复数,则z = . 答案 2 解析 由z(1-i)=2i,得z= = =-1+i,从而 =-1-i,所以z =(-1+i)(-1-i)=1+1=2. 思路分析 由题意求出z与 ,从而求得z . 3.(2017江苏南京第一次调研)若zC,且|z+2-2i|=1,则|z-2-2i|的最小值为 . 答案 3 解析 设z=a+bi(a,bR),则|z+2-2i|=|a+bi+2-2i|=|(a+2)+(b-2)i|= =1,所以(a+2)2+(b -2)2=1,这表示的是一个以(-2,2)为圆心,1为半径的圆,而|z-2-2i|=|a+bi-2-2i|=|(a-2)+(b-2)i|= ,这表示圆上任意一点(a,b)到点(2,2)的距离,则圆心(-2,2)到点(2,2)的距离为 =4,所以|z-2-2i|的最小值为4-1=3. 思路分析 根据复数的几何意义,得复数z在复平面内对应点的轨迹,从而利用几何法求出|z-2-2i|的最 小值. 4.(2015江苏扬州一模)已知i是虚数单位,则 的实部为 . 答案 - 解析 = = =- - i,所以实部为- . 二、解答题(共10分) 5.(2015江苏连云港五校联考)已知复数z满足|z|= ,z2的虚部为2. (1)求z; (2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求ABC的面积.