导数的经济意义及在经济分析中的应用研究摘 要数学是一种适于定量分析的比较严密的抽象符号系统,具有较强的客观性,应用数学知识解决经济问题在一定程度上能减少分析中主观因素的影响.微积分的创立是数学发展中的里程碑,导数作为微积分的核心概念之一,在经济学领域有其丰富的实际背景和广泛的应用.论文就导数在经济领域中的应用，对边际分析、弹性分析以及经济优化问题作出探讨,并给出导数在经济领域中的应用实例.旨在拓宽人们分析问题的思路,提高人们解决问题的能力，说明高等数学处理复杂经济问题的优越性和重要性,为广大企业管理者进行科学决策提供参考.关键词：导数；经济学；边际分析；弹性分析；优化分析目 录1 引言12 文献综述12.1 国内外研究现状12.2 国内外研究现状评价22.3 提出问题23 导数的概念与意义24 经济分析中常用的函数34.1 需求函数与供给函数34.2 成本函数与平均成本函数34.3 价格函数、收入函数和利润函数45 导数在经济分析中的应用45.1 边际分析45.1.1 边际成本45.1.2 边际收入55.1.3 边际利润分析55.2 需求价格弹性分析及应用75.2.1 需求价格弹性的概念与分析85.2.2 需求价格弹性在企业经营中的应用85.2.3 需求价格弹性在国家经济决策中的应用105.3 收入弹性分析及应用146 最优分析及案例156.1 用边际函数求最低成本156.2 利用边际函数求最大利润176.3 资源合理利用的优化分析197 结论217.1 主要发现217.2 启示217.3 局限性217.4 努力方向21 参考文献231 引言 数学是一种适于定量分析的比较严密的抽象符号系统,具有较强的客观性,应用数学知识解决经济问题在一定程度上能减少分析中主观因素的影响.当然在经济研究中应用数学也会有它的局限性.它不可能使经济理论家或实践者彻底摆脱在现实经济中所遇到的困境和烦恼.但总体来说,在经济研究中应用数学是很有益的.从当前来看,在国内外经济学文献中应用数学作分析工具的越来越多,应该说这是经济学进步的一个重要标志,即它使经济学走向了定量化、精密化和准确化.微积分的创立是数学发展中的里程碑,导数作为微积分的核心概念之一,在经济学领域有其丰富的实际背景和广泛的应用.如何运用导数知识去分析、解决经济中的问题是一个必须引起重视和研究的课题.本文本着“数学为体,经济为用”的原则,就导数在经济领域中的成功应用范例:著名的边际分析、弹性分析以及经济优化问题等作一些探讨,并给出导数在经济领域中的一些应用实例.旨在拓宽人们分析问题的思路,提高人们解决问题的能力.通过本文的讨论,我们不难发现,利用导数说明和解决经济问题是非常有效的方式,使我们可以从数学的角度得出结论,又可以在经济的理论上得到合理解释,从而达到为企业经营者科学决策提供依据的目的.2 文献综述2.1 国内外研究现状 现查阅到的文献中,分别就导数在经济研究中的应用做出以下说明.其中高汝憙在文献1中精确的解释了导数的概念,强调了对数学概念的精确理解是解决问题的前提. 高鸿业、哈尔R范里安、周晓晖、宋承先分别在文献2,5中对导数在经济领域中的应用类型和相应的方法给予了较详细的说明,并介绍了经济学中常见的函数及大量的实例. 李凤香,程敬松在文献6中对边际的概念展开描述,并举例说明边际收益,边际成本等概念.文献8中, 张贤澳对需求价弹性与收益进行了详细的的解析. 文献10,12中,刘玉红,李春萍,彭文学通过弹性分析说明了数学在经济领域中的具体应用.周学勤在文献14中提出了导数在经济应用中应注意的问题. 叶子祥,于信,宿金勇, 保罗A萨缪尔森等在文献15,16中提出针对生活中的有些问题可利用优化分析的方法达到经济效益的最高的策略.2.2 国内外研究现状评价文献1,16分别就导数的经济意义与其在经济中的应用做出说明,文献中主要阐述了经济方面相关的基础知识,没有很全面地介绍导数在研究经济各方面的运用,而且文献中对最优化分析给出的分析也相对较少,对导数在经济中的应用所需要注意的问题也未给出详细深入的说明.2.3 提出问题 本文从数学的基本理论导数的概念出发,探讨了经济管理学中重要的概念-边际函数和弹性函数,研究它们的经济意义,进而分析了经济科学中常见的函数及应用实例,给出了利用导数解决经济管理学问题的一般方法,通过数学与经济学的结合来分析问题,说明导数在经济生产中的重要性和优越性.3 导数的概念与意义定义11：设函数y=f（x）在点的某个邻域内有定义,当自变量 x在点处取得增量（点+仍在该邻域内）时,相应地函数y取得增量=f（+）-f（）；如果与之比当0时的极限存在,则称函数y=f（x）在点处可导,并称这个极限为函数y=f（x）在点处的导数,记为,即.若函数 y=f（x）在某区间内每一点都可导,则称 y=f（x）在该区间内可导,记为y=f（x）在该区间内的可导函数（简称导数）.函数增量与自变量增量之比y/x是函数在以和为端点的区间上的平均变化率,而导数则是函数y=在点处的瞬时变化率,它反映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度.函数y=在点的导数的几何意义是:曲线y=在点处的切线的斜率.西方经济学家研究涉及边际经济变量时都是用增加某一个经济变量一个单位从而对另一个经济变量带来的影响是多少,如边际效用、边际成本、边际收益、边际替代率等等,这些概念都是经济学中非常重要的概念.而在这些经济学概念中,几乎都要用到导数的概念,它们的数学表达式也可以用导数来表示.因此,导数在边际分析、弹性分析、最优化分析等方面都具有重要的作用.DpQp1Q1p2Q204. 经济分析中常用的函数4.1 需求函数与供给函数图1 需求曲线SPQP2Q1P1Q20图2 供给曲线（1）需求函数.市场上的任何一种商品,其需求量受到很多因素影响,如商品的市场价格、消费者的喜好等.为了便于讨论我们先不考虑其他因素,假设商品的需求量尽受市场价格的影响,即Q表示某种商品的需求量,P表示此种商品的价格,则用 Q=f（P）表示对某种商品的需求函数.例如,某空调的价格从3000元/台降到2000元/台时,相应的需求量就从600台增到1000台,显然需求是和价格相关的一个变量.一般来说,对某种商品的需求量Q随价格减少而增加,随价格增加而减少,所以需求函数是单调减少的函数（如图1）.（2）供给函数.站在卖方的立场上,设Q表示对某种商品的供给量,P表示此种商品的价格,则用Q=F（P）表示某种商品的供给函数.一般来说,作为卖方,对某种商品的供给量Q是随价格P的增加而增加,随价格P的减少而减少,所以供给函数是单调增加的函数（如图2）.4.2 成本函数与平均成本函数（1）成本函数.产品的成本一般有两类：一类随产品的数量变化,如需要的劳动力,消耗的原料等；这种生产成本称为可变成本.另一类成本无论生产水平如何都固定不变,如房屋 设备的折旧费、保险费等,称为固定成本.设Q为某种产品的产量,C为生产此种产品的成本,生产每个单位产品的成本为a,固定成本为,则成本函数为C =C（Q）=aQ+.（2）平均成本函数.用表示每单位的平均成本函数2.4.3 价格函数、收入函数和利润函数（1）价格函数.一般来说,价格是销售量的函数.生活中随处可见,买的东西越多,消费者就可以把价格压得更低.例如,某批发站批发100件衣服给零售商,批发定价,30元,若每次多批发10件衣服,相应的批发价格就降低2元,显然价格是和销售量相关的一个变量.在厂商理论中,强调的是既定需求下的价格.在这种情况下,价格是需求量的函数,表示为P=P（Q）.要注意的是需求函数 Q=f（P）与价格函数 P=P（Q）是互为反函数的关系.（2）收入函数.在商业活动中,一定时期内的收益,就是指商品售出后的收入,记为R.销售某商品的总收入取决于该商品的销售量和价格.因此,收入函数为R=R（Q）=PQ.其中 Q 表示销售量,P表示价格.（3）利润函数.利润是指收入扣除成本后的剩余部分,记为L.则L=L（Q）=R（Q）-C（Q）.其中Q 表示产品的的数量,R（Q）表示收入,C（Q）表示成本.总收入减去变动成本称为毛利,再减去固定成本称为纯利润.5 导数在经济分析中的应用5.1 边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念,通常指经济变量的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法,即边际分析方法,是经济理论中的一个重要分析方法.在经济学中,习惯用平均和边际的概念描述一个经济变量y对于另外一个经济变量x的变化.平均概念y表示在自变量x的某一个范围内的平均值.显然,平均值x随着范围不同而不同,边际概念表示当x的改变量x趋于0时,y的相应改变量y与x的比值y/x的变化,即当x在某一给定值附近有微小变化时,y的瞬时变化.5.1.1边际成本设生产某种产品q单位时所需要的总成本函数c(q)可导,则其边际成本定义为3.边际成本是总成本函数c(q)关于产量q的导数,其经济含义是：当产量为q时,再生产一个单位（即q=1）所增加的总成本为c(q).因此,近似地记为.例1 生产某种产品q个单位时成本函数为c(q)=200+0.05求生产90个单位与生产100个单位该产品时的边际成本.解：边际成本为=0.1q当q=90时,=0.190=9;当q=100时,=0.1100=10;即生产90个单位该产品与生产100个单位该产品时的边际成本分别为9和10.在这里需要注意的是：平均成本、平均变化率、边际成本三个概念虽然都反映一定意义下的平均,但是又有一定的区别.平均成本C(q)/q是生产一定数量产品时的成本平均,它只与产量范围q有关.平均变化率C(q)/q是生产一定数量产品时再增加生产q时,成本增加值C在q范围内的平均,这个比值既与产量q有关,又与增量q有关.边际成本是极限意义下的平均,是当增量q0时,总成本C(q)的瞬时变化率,这个值只与产量q有关.5.1.2 边际收入与边际成本类似,边际收入定义为,即边际收入是总收入函数R(q)关于销售量q的导数,其经济含义是：当销售量为q时,再销售一个单位（即q=1）所增加的总收入R(q).例2 某企业某种产品的收入R(单位：元)是产量q(单位：吨)的函数求生产200吨时的边际收入.解：边际收入为,生产200吨时的边际收入为.其经济含义是:当销售量为200吨时,再销售一吨（即q=1）所增加的总收入为700元.5.1.3边际利润分析边际利润与边际成本类似,边际利润定义为总利润函数L(q)关于销售量q的导数.其经济含义是:当销售量为q时,再销售一个单位（即q=1）所增加的总利润L(q).在这里要强调的是:边际利润0与利润L(q)0是不同的概念. 0即边际利润小于零这意味着：当产量（销量）为q时,再改变一个单位的产量（销量）(即q=1)总利润将减少,此时,可能是亏损,也可能是盈利,即总利润减少不一定是亏损.而L(q)0即利润小于零则意味着：当产量（销量）为q时企业是亏损的.例3 设某厂生产某种产品的总成本C元是产量Q件的函数,.每件产品的销售