1考点突破基础诊断 第1节 不等式的性质与一元二次不等式 2考点突破基础诊断 最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组) 的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图 象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次 不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 3考点突破基础诊断 知 识 梳 理 1.两个实数比较大小的方法 4考点突破基础诊断 2.不等式的性质 5考点突破基础诊断 3.三个“二次”间的关系 x|xx2或xx1R x|x1xx2 6考点突破基础诊断 7考点突破基础诊断 1.思考辨析(在括号内打“”或“”) (1)abac2bc2.( ) (2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.( ) (3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.( ) (4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.( ) 诊 断 自 测 8考点突破基础诊断 解析 (1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab / ac2bc2. (3)若方程ax2bxc0(a0的解集为. (4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立. 答案 (1) (2) (3) (4) 9考点突破基础诊断 答案 B 10考点突破基础诊断 3.设集合Mx|x23x40，得(x1)(2x3)0， 答案 B 21考点突破基础诊断 命题角度2 含参不等式 【例22】 解关于x的不等式ax222xax(a0). 解 原不等式可化为ax2(a2)x20. 当a0时，原不等式化为x10，解得x1. 22考点突破基础诊断 综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1； 当a2时，不等式的解集为1； 23考点突破基础诊断 规律方法 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数 进行分类讨论： (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因 式，则可对判别式进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系 数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 24考点突破基础诊断 故不等式x2bxa0为x25x60， 解得x3或x2. 答案 x|x3或x2 25考点突破基础诊断 26考点突破基础诊断 解之得3k0. 答案 D 27考点突破基础诊断 命题角度2 在给定区间上恒成立 【例32】 (一题多解)设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1，3，f(x) m5恒成立，则m的取值范围是_. 解析 要使f(x)m5在1，3上恒成立， 故mx2mxm60， 有以下两种方法： 28考点突破基础诊断 当m0时，g(x)在1，3上是增函数， 所以g(x)maxg(3)7m60. 当m0时，g(x)在1，3上是减函数， 所以g(x)maxg(1)m60. 所以m6，所以m0. 29考点突破基础诊断 答案 30考点突破基础诊断 命题角度3 给定参数范围的恒成立问题 【例33】 已知a1，1时不等式x2(a4)x42a0恒成立，则x的取值范 围为( ) A.(，2)(3，) B.(，1)(2，) C.(，1)(3，) D.(1，3) 31考点突破基础诊断 解析 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)(x2)ax24x4， 则由f(a)0对于任意的a1，1恒成立， 所以f(1)x25x60， 且f(1)x23x20即可， 答案 C 32考点突破基础诊断 规律方法 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图 象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁 就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 33考点突破基础诊断 【训练3】 (1)若不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围 是( ) A.1，4 B.(，25，) C.(，14，) D.2，5 (2)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成立，则实 数m的取值范围是_. 34考点突破基础诊断 解析 (1)由于x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意 实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4. (2)二次函数f(x)对于任意xm，m1， 都有f(x)0成立， 35 本节内容结束