研讨学本课堂需要拓宽视野 -现实数学教育思想简介 孙晓天 中央民族大学 sunxt0761 现实数学教育的奠基人弗兰登塔尔 1967年任国际数学教育大会 (ICMI)的主席 数学教育研究（ Educational Studies in Mathematics）杂志的创始 人。 国际数学教育最高奖之一 Freudenthal奖以他的名字 命名 1987年曾来中国访问 弗兰登塔尔一生发表关于数学教育的著述达 几百篇（部）,他最重要的数学教育著作包括 ： 作为教育任务的数学(1973，有中译本) 播种和除草(1978), 数学结构的教学法现象学(1983) 数学教育反思(1991，有中译本)， 等等 弗兰登塔尔思想集萃 “思维的教育”1946 思维不是一种技能,那到底什么是思维呢?我虽 然常常用很多时间深入考虑这个问题,但每当我 试图得出一些结果,仿佛要抓住这个奇异的思维 的时候,却往往是无功而返,我发现自己只是绕着 它转圈子,或者说绕着我所观察的世界兜圈子,思 维只是在我的身边飞舞,而我却抓不住它。渐渐 的,我从中悟出一些道理：考虑思维问题,应该采 用更为实践的步骤,而不是过于理论的方式 。 数学教育杂志（1968） 应以一种新的观点来认识作为教育的数学和数 学学习.归根到底,数学是一项人类活动,因此 作为教育的数学也要作为一项人类活动来看 待。 学校中的数学不是那些封闭的系统,而 是作为一项人类活动的数学,是从现实生活开 始的数学化过程。” “体系化体现了数学的巨大功能,学生 应当学习数学的这种功能,但我这里所说的学 习是指学习形成这种体系的数学活动过程,而 不是系统化的最后结果。因为系统化的最后 结果是一个漂亮的封闭的系统,封闭到没有入 口和出口。学生所要学习的不是作为一 个封闭系统的数学,而是作为一项人类活动的 数学,即从现实生活出发的数学化过程。如果 需要也可以包括从数学本身出发的数学化过 程。” 作为教育任务的数学(1973) “灌输”式的教学是一种类似于把学生训练成 计算机的教育,即学生只能被动的执行程序,缺少 自己发挥主动性和创造性的空间。其结果,不仅在 计算方面人无法与计算机相比,反而极大的抑制了 学生主动性和创造性的发展。 同上 即使是儿童,也已经具有某种“潜在的发 现能力”,他们的思维和行为方式已经具备 了某些教师甚至研究人员的特征,让他们重 复人类数学发现的活动是完全可能的。 现实数学教育的特征（2010） - 以数学活动贯穿始终 - 以情景问题为数学教学的出发点和归宿 点 - 以数学化（出发点与归宿点之间的过程 ）为基本目标 - 内容为多知识领域相互交织呈现 - 交流互动是基本的方式 - 注重教师的指导作用 什么是情景问题？ 现实生活的真情实景 虚拟（神话、传说）的情景 学生已经习得的数学知识 特征：1.与学生已有的经验相关联（喜欢和好 奇的源泉）； 2.有助于学生交流互动； 3.有益于导向以数学化为目标的 数学活动 2 什么是数学化？ “现实”世界数学问题1 数学世界 3 进一步：水平数学化和垂直数学化 更进一步：数学化是一个过程 数 学 系 统（垂直数学化） 数学问题概念、方法 解 决 问 题 描 述 现实情景问题（水平数学化） 数学化怎么实现？ 数学化：逐步形式化、系统化 639412=? 159 0 5300 159 100 3 103 53 5459 基于算理的竖式计算 基于算法（位值）的 竖式计算 53 5459 103 53 15 159 159 0 0 现实数学教育改变了被动接受的学习方式 自主建构（学本） 灌输 知识不仅是通过教师传授得到，而且是学 习者通过情景问题，借助与其他人（包括 教师和学习伙伴）之间的活动，利用必要 的学习资料，通过有意义的自我发现方式 获得。 自主建构（学本） 灌输 应应用是起点 应应用是目标标 应应用是过过程 现实数学教育实现了数学教学的学以致用 现实数学教育 - 活动 - 现实 - 数学化 - 内容相互交织 - 互动 - 教师指导 “学本”成为一种可 能 机械（传统的）的 数学教育 - 只关注数字的计算 - 对知识的应用关注较少 (尤其在新知识的引入阶段) - “教学”被简化为“讲授” * 一切都分解成“类型和层次” * 学习方式主要是按部就班地模仿 “学本”基本是一句空话 比较： 现实数学教育效果如何？ 1960s 1980s 基于RME 的数学教科书所占市场份额（荷兰） 基于传统教学法的数学教科书所占市场份额 1987 199219972004 数学教科书所占市场份额 国际平均成绩： 38% 得到满分 考试效果如何？ _-以TIMSS 为例 荷兰学生成绩： 74% 得到满分 例如，题目：每次用勺子可取15千克的面粉，想要往口袋里装6千 克的面粉，需要多少勺？ 答： （注：30 scoops = 30 勺） 日常使用的、 非正式的、 基于情景的策略 正式规范的 数学策略 5 1 勺数 千克数 130 6 6 一勺可以取千克； 所以，取1千克就需要5勺， 一共需要装6千克，就是6乘以5，即30勺。 5 1 5 1 5 没学过分数除法的荷兰学生是怎么做的？ 效果图 挫折感 枯燥无味 挑战战性 知识识技能 数学化 教学实例：百分数 2 数学化 “现实”世界数学问题1 数学世界 3 情景问题（日常生活） 学校的剧场有多忙? 用阴影在空白处表示 被占用的座位，并写 出被占用的座位是全 部座位的百分之几？ 舞台 a. 流行音乐会 舞台 舞台 b. 历史剧 c. 时装秀 通 过 具 体 情 景 理 问 题 解 ： 百 分 数 非正式的、借助经验 知识的解答 学校的剧场有多忙? 用阴影在空白处表示 被占用的座位，并写 出被占用的座位是全 部座位的百分之几？ 学 生 的 回 答 25%的花是红色的，请涂色表示 新情景，注意区别 马拉松比 赛举办的 年份 参与跑步 的总人数 描述你的策略 中途退赛 者的人数 中途退赛 者的比例 分数单位（百分之一） 进一步，逐步退出直观，不断形式化、抽象化 用百分数分析问题（求现价） $3.20 4 = $0.80 $3.20 $0.80 = $2.40 方法一： 25% 方法二： x 0.75 $3.20 x 0.75 = $2.40 降价25% 茄子原价$3.20/公斤 75% 现价$？/公斤 在解决问题的过程中进一步形式化、抽象化 在解决问题的过程中掌握、运用百分数 （求原价） 望远镜的原价是多少呢？ 请保留问题的解决过程。 96.00是75%， 75%是四分之 三。所以把 96.00除以3，得 到32.00，然后 再加上去。 在解决问题的过程中掌握、运用百分数 （求原价） 望远镜的原价是多少呢？ 请保留问题的解决过程。 售价 0.75 原价（垂直数 学化） 售价 x 0.75 原价 75% 96? 100% 求原价（逐步数学化垂直数学化 ） 望远镜的原价是多少呢？ 请保留问题的解决过程。 $447.71 用百分数解决问题（复利）： 年份本金 初始金额 在解决问题的过程中不断抽象化、形式化 一年以后: $250 x 1.06 两年以后： $250 x 1.06 x 1.06 三年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 四年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 五年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 = $334.56 一年以后: $250 x 1.06 两年以后： $250 x 1.06 x 1.06 三年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 四年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 五年以后： $250 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 x 1.06 学生解决问题的过程 = $334.56 形象模式 估计（算）模式 分析（运算）模式 从直观到抽象的逐步演变：数学化 几点思考 “以学生为本”是培养创新意识和实践能 力的基础 学本课堂需要教学方式的多样化和丰富性 学本课堂离不开数学活动、情景问题、数 学化 传统的教学模式很难满足学本课堂的特征 和要求 教师的观念转变和开拓视野十分重要 现实数学教育的思想和实践是比较 重要的参考 回顾：现实数学教育的特征(principle)（2010 ） - 以数学活动贯穿始终 - 以情景问题为数学教学的出发点和归宿 点 - 以数学化（出发点与归宿点之间的过程 ）为基本目标 - 内容为多知识领域相互交织呈现 - 交流互动是基本的方式 - 注重教师的指导作用 谢 谢 大 家！