第二章 极 限 数列的极限数列的极限 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量 结束 函数的极限函数的极限 极限的运算极限的运算 极限存在定理极限存在定理 两个重要极限两个重要极限 无穷小量的比较无穷小量的比较 引引 言言 极限是微积分学乃至分析数学的基本概念之一 ，用于描述变量在某一变化过程中的变化趋势。 极限的朴素思想和应用可追溯到古代，中国早 在2000年前就已能算出方形、圆形、圆柱等几何图 形的面积和体积，3 世纪刘徽创立的割圆术，就是 用圆内接正多边形面积的极限是圆面积这一思想来 近似计算圆周率的。 刘徽刘徽( (约约225 225 295295年年) ) 我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的重 差对九章算术中的方法和公式作了全面的评 注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 “ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . 的方法 : 第二章 极限 本章学习要求： 了解数列极限和函数极限的概念，在后面内容的学习中逐 步加深对极限思想的理解。 掌握函数极限存在与左右极限之间的关系，了解函数极限 的性质，了解极限存在的两个准则：夹逼准则和单调有界 准则 。 掌握极限的四项运算法则，会用两个重要极限求极限。 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量阶的比较 ，会用等价无穷小量求极限。 第一节 数列的极限 一、数列 二、数列极限的定义 三、数列极限的性质 四、数列的收敛准则 称为一个数列, 记为 xn . 定义1 数列中的每一个数称为数列的一项数列中的每一个数称为数列的一项 x x n n = = f f ( (n n) ) 称为数列的通项或一般项称为数列的通项或一般项 一、数列 数列也称为序列 介绍几个数列 xn 0242n x1x2 x 例1 xn x2 x1 x 0 x3 011 x 所有的奇数项所有的奇数项所有的偶数项所有的偶数项 x 1 M 3 x 1 x x4 x2 0 所有奇数项所有奇数项 1 xnx3x2 x1 x 0 数列的性质 单调性 有界性 定义2 单调增加单调增加 不减少的不减少的 单调减少单调减少 不增加的不增加的 严格单调增加(单调增加) 严格单调减少(单调减少) 单调增加(不减少的) 单调减少(不增加的) 统称为单调数列 数列 数列的有界性数列的有界性 回想一下前面讲过的 函数的有界性的情形 我学过吗 ？ 定义3 数列的有界性的定义 例2 观察例1 中的几个数列： xn x2 x1 x 0 x3 011 x x 1 M 3 x 1 x x4 x2 0 1 xnx3x2 x1 x 0 xn 0242n x1x2 x 有些数列虽然无界, 但它或者是下方有 界的, 或者是上方有界的. 二、数列极限的定义二、数列极限的定义 0 0 1 一般地, 如果数列xn 当 n 时, 列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为 xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数 此时, 也称数列是收敛的. 1 x 看数列 xn: 从直观上看,这个 数列当n越来越大时, 对应的项xn会越来越 接近于1, 或者说“ 当n趋向于无穷大时, 数 列xn趋近于1”. 如何用精确的, 量化的数 学语言来刻划这一事实? 2 x1x2x3 x4xn 注意到,实数a, b的接近程度由| ab |确定. | ab |越小, 则 a, b 越接近. 因此, 要说明“ 当n越来越大时, xn越来越接近于1”就只须说 明“ 当n越来越大时, | xn1 |会越来越接近于 0”. 正数 , | xn1 | 总会小于这个 , 条件是只要 n充分的大。究竟要取多大呢？下面来分析 ： 而要说明“ | xn1 |越来越接近于0”则 只须说明“ 当n充分大时,| xn1 |可以任意小” 就行了。也就是说随便给定一个任意小的 事实上, , 给, 很小, , 只须n1000 即可, 数列中,从第1001项开始,以后各项都有 . 要 也即在这个 又给, 则从第10001项开始, 以后各项都有 一般, 任给 0, 不论多么小, 只须. 因此, 从第 项开始, 以后各项都有 . 因是任意的, 这就说明了当n越来越大时, xn会越来越接近于1. 要使 预先任意给定一个正数 0, 不论它的值多么小, 当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始, 以后的所有项 都落在 U(1, ) 中.（在 U(1, ) 外面只有有限项） 若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散. 若时,使当 记为 或 此时, 也称数列 xn 是收敛的. 极限描述的是变量的变化趋势极限描述的是变量的变化趋势 数列的项不一定取到数列的项不一定取到 它的极限值它的极限值. . 数列极限的定义： 其中, 是描述点 xn 与点 1无限接近的 度量标准, 它是预先任意给定的, 与xn的 极限存在与否无关. 不存在. 由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n . 通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N(). 不等式 称为目标不等式. 例3 证 故取 则 n N 时, 由极限的定义, 得 例4 证 成立. 由极限的定义可知: 放大不等式法放大不等式法 例5 证 通常说成：常数的极限等于其自身. 例6 证 由绝对值不等式, 得 注意：该例题结论的逆命题不真. 例如, (1)n. 定理定理1 1（唯一性定理）（唯一性定理） 若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一. 想想, 如何证明它？ 三、数列极限的性质三、数列极限的性质 设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有： 证运用反证法反证法 任 意 性 常 数 由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b . 定理定理2 2（有界性定理）（有界性定理） 若数列 xn 收敛, 则 xn 必有界. 证设则由极限定义, 取时, 即有 则 由数列有界的定义得：数列 xn 收敛, 则必有界. 该定理的逆命题 不真, 即有界数列不 一定收敛. 例如, (1) n . 有界性定理的推论：有界性定理的推论： 即 无界数列的极限不存在 . 无界数列必发散无界数列必发散. . 例7 发散的数列不一定都无界 . 例如, (1) n . 收敛的数列必有界. 有界的数列不一定收敛. 无界的数列必发散 . 发散的数列不一定无界. 定理定理3 3（保号性定理）（保号性定理） 证 由绝对值不等式的知识, 立即得 a a 0 0 的的 情形类似可情形类似可 证证, , 由同学由同学 自己完成自己完成 . . 保号性定理的推论保号性定理的推论1 1： 这里为严格不等号时 此处仍是不严格不等号 由保号性定理, 运用反证法证明 保号性定理的推论保号性定理的推论2 2： 在极限存在的前提下在极限存在的前提下, , 对不等式两边可以同对不等式两边可以同 时取极限时取极限, , 不等号的方向不变不等号的方向不变, , 但严格不等号也但严格不等号也 要改为不严格不等号要改为不严格不等号. . 定理定理4 4 （夹逼定理）（夹逼定理） 设数列 xn, yn, zn 满足下列关系: (2) 则 想想：如何证明夹逼定理? (1) yn xn zn , n (或从某一项开始) ; 解由于 例8 想得通吧？ 解 例9 夹逼定理夹逼定理 例10 解 定理定理6 6（单调有界数列收敛准则（单调有界数列收敛准则 ） 单调减少有下界的数列必有极限 . 单调增加有上界的数列必有极限 . 四、数列的收敛准则四、数列的收敛准则 通常说成：单调有界的数列必有极限通常说成：单调有界的数列必有极限. . 证由中学的牛顿二项式展开公式 例11 类似地, 有 又 等比数列求和 放大不等式 每个括号 小于 1 . 综上所述, 数列xn是单调增加且有上 界的, 由极限存在准则可知, 该数列的极限 存在, 通常将它记为 e, 即 e 称为欧拉常数. 故极限存在， 备用题备用题 设 , 且 求 解： 设 则由递推公式有 数列单调递减有下界， 故 利用极限存在准则