回总目录回本章目录 第七章 证券投资组合理论与方法 第一节 马柯维茨的证券组合理论 第二节 证券组合分析的简化模型 回本章目录 回总目录回本章目录 第一节 马柯维茨的证券组合理论 马柯维茨证券组合理论作为一种投资方法归纳起来共有四个步骤 ： 一是想购买最佳证券组合的投资者先要确定一系列的证券作为考 虑对象； 二是对这些证券的前景行分析，即行基本分析和技术分析， 对所考虑的所有证券的收益率、方差和协方差作出估计； 三是要确定有效边界，这就是要利用估计出的预期收益率、方差 和协方差，来确定构成有效边界的有效证券组合的组成部分和位置； 四是要找出投资者的最佳证券组合，即找出投资者的无差异曲线 与有效边界的切点。 回本章目录 回总目录回本章目录 一、证券组合收益和风险的统计测定 （一）单一证券收益和风险的测定 单一证券收益率： 式中：R代表收益率；W0代表期初证券市价；W1代表期末证券市价 及 投资期内投资者所获收益的总和. 风险是指投资者投资于某种证券的不确定性，以预期收益率的标 准差来表示。 预期收益率： 证券收益率的标准差： 代表风险；Ri代表所观察到的收益率；E(R)代表预期收益率；Pi代 表各个收益率Ri出现的概率。 回本章目录 回总目录回本章目录 【例7-1】某投资者投资某种股票的投资收益率Ri和出 现的概率Pi如表7.1。 表7.1 某种股票的投资收益率和相应的概率 收益率（% ） 组中值 (Ri)(%) 概率 组中值概率 7.5-8.5 80.050.400.45 8.5-9.590.100.900.40 9.5-10.5100.202.000.40 10.5-11.5110.303.300 11.5-12.5120.202.400.20 12.5-13.5130.101.300.40 13.5-14.5140.050.700.45 合计1.00112.1 回本章目录 回总目录回本章目录 【例7-1】续： 预期收益率： 标准差： 计算结果表明，该种股票的平均收益率为11%，风 险为1.45%，其收益率在11%1.45%的范围内变动。 回本章目录 回总目录回本章目录 （二）证券组合的收益和风险的测定 1.证券组合预期收益率的计算 投资组合的预期收益率： 式中：Rp代表证券组合的预期收益率；代表对于第i种证券的 投资比例；Ri代表第i种证券的预期收益率。 2.证券组合风险的测定 协方差：协方差表示两个随机变量之间关系的变量，是用来确 定有价证券组合收益率方差的一个关键性指标。 A.上式为正，则表明证券A和证券B的收益有相互一致的变动趋 向； B.上式为负，则表明证券A和证券B的收益有相互抵消的趋向 。 回本章目录 回总目录回本章目录 2.证券组合风险的测定（续） 相关系数：它的值在-1到+1之间。它表示两种证券 的相互影响程度。 A.上式为+1时，完全正相关； B. 上式为-1时，完全负相关； C.上式为0时，完全不相关。 回本章目录 回总目录回本章目录 例：现某一投资者考虑投资于国库券和股票，关于 两者的资料见表7.2。试计算当等比例投资于这两种证券 时的组合风险。 表7.2 国库券和股票收益率资料 项项目 国库券 股票 牛市熊市牛市熊市 收益率（ %） 812146 概率0.50.50.50.5 期望值（ %） 80.5+120.5=10140.5+60.5=10 回本章目录 回总目录回本章目录 例（续） 解：（1）单证券标准差 和 （2）两证券组合标准差 协方差： 相关系数 ： 两证券组合的标准差： 回本章目录 回总目录回本章目录 例（续） 结论： 从本例我们发现，证券组合风险的大小由以下三 个因素决定： A、每种证券所占的比例; B、证券收益率的相关性; C、每种证券的标准差。 回本章目录 回总目录回本章目录 （三）证券组合效应的图示分析 1、两种股票组合效应图示及其分析 两种股票组合效应图如图7.1所示。 图7.1 两种股票组合效应图 O Ep G B A M N P O L 回本章目录 回总目录回本章目录 1、两种股票组合效应图示及其分析（续） A、B点分别表示证券甲和乙的比例为100%，这里的三条直线 AB、AG、GB分别表示相关系数为+1和-1时，证券甲和证券乙分 别在组合证券中所占的比例，曲线AB是一条双曲线，表示 时 的证券甲和证券乙所占的比例。 （1）线段AB，相关系数=+1，一揽子证券未产生组合效应。 （2）曲线AB，相关系数=0，股票甲的比例变化，组合证券产 生组合效应，随着证券甲比例的变化，风险程度均比单独购买一种 股票为好。以P点为转折点，在ANP和POB上，出现了具有相同风 险但是收益的期望值不同的两个点。 回本章目录 回总目录回本章目录 1、两种股票组合效应图示及其分析（续） （3）交于G点的AG和GB，相关系数= -1，A点沿 着相关关系为-1的线段上行运动，当运动至G点时， ，此时的证券甲的比例为 ,过了G点，风险又逐 步回升。AG和GB上的点风险相同，但是存在着期望 值不同的对应的两个点，如L点和M点，这也表明A点 沿着GB运动比AG为优。 结论：从以上分析可知，组合证券沿着所有线段运 动都是可以的，但存在着一些比其他效应为优的线段 。 回本章目录 回总目录回本章目录 2.多种股票组合效应的图示及其分析 图7.2 三种股票组合的各种曲线图 由图7.2看出,P2风险小于P1，因此，风险厌恶者偏好于P2组合 股票，风险爱好者偏好于P1组合以获得更高的预期收益。P3被P2 严格占优，其风险与P2一样，但预期收益却远较低。 结论：选择收益好的组合股票原则： （1）风险相同，但是收益较其他为高的组合股票； （2）或收益相同，但风险比其他要小的组合股票。 回本章目录 回总目录回本章目录 （四）投资分散化和证券组合的最佳规模分析 投资分散化考虑的三个因素： 1、证券种类；2、证券行业分布；3各证券在组合中的比例。 风险=系统风险+非系统风险 系统风险属于不可分散的风险，而非系统风险则属于可分散的风 险。可分散的风险可以通过合理的投资组合予以消除。 按伊文斯和阿切尔的分析，证券组合的数目大约在816之间为最佳规模。 回本章目录 回总目录回本章目录 二、证券组合的效用分析 （一）证券组合的效用函数 不同证券组合的收益率产生不同的效用值，效用与证券收益 率的对应关系就是效用函数。例如： 其中，R代表收益率，U代表效用 由于证券收益的不确定性，效用函数所反映的证券组合效用 也是不确定的。效用期望值的公式为： 式中：E(U)代表效用的期望值；Pi代表与收益率相对应的概 率；Ri代表各种收益率。 回本章目录 回总目录回本章目录 （二）效用函数的基本类型 1.凸性效用函数 图7.5 凸性效用函数 一般而言，效用函数越凸， 投资者越规避风险。 回本章目录 回总目录回本章目录 （二）效用函数的基本类型 2.凹性效用函数 图 7.6 凹性效用函数 凹性效用函数的投资者是 喜欢风险的。 回本章目录 回总目录回本章目录 （二）效用函数的基本类型 3.线性效用函数 图7.7 线性效用函数 其投资收益率的边际效用 是一个常数，投资者属于 风险中性者。 回本章目录 回总目录回本章目录 （三）效用函数期望无差异曲线 从理论上讲存在无数 种组合方案，使得在效用函 数一定的条件下，这些组合 都有相等的效用期望值。 投资者风险规避程度 影响无差异曲线斜率：风险 回避越高的投资者，他的无 差异曲线就越陡峭，斜率越 大。 回本章目录 回总目录回本章目录 无差异曲线有两个重要的特点： 1.位于同一条无差异曲线上的所有证券组合，对投资者都具有相 同的偏好。这一特点反映在图上就是无差异曲线之间不能相交。 2.在坐标系中，越是位于西北方向的无差异曲线上的证券组合 越为投资者所偏好。 图7 .12 无差异曲线的特点 回本章目录 （三）效用函数期望无差异曲线（续） 回总目录回本章目录 三、有效边界的确定 （一）有效边界的概念 在风险和收益的权衡中,投资者必然采取如下策略： （1）在风险相同的条件下，选择期望收益最大的证券； （2）在期望收益相同的条件下，选择风险最小的证券。 马柯维茨理论假设： （1）市场是有效的，即市场上的任意证券信息都是已知或可 以知道的； （2）投资者是风险的厌恶者； （3）所有投资决策都是依据投资的期望收益及其方差做出； （4）投资单元是完全可分的，即假定所有的证券是无限可分 割的，投资者可按任意比例买卖； （5）收益率和风险是并存的，要想得到高收益，就必须冒高 风险。 回本章目录 回总目录回本章目录 有效边界定理：一个投资者将从在各种风险水平 能够带来最大收益率的，以及在各种预期收益率水平 上风险最小的证券组合边界中选择出最佳证券组合。 满足这个定理的证券组合边界叫作有效边界。 图7.13 有效边界 回本章目录 回总目录回本章目录 （二）有效边界的确定 1.图解法适用于证券种类不超过三种的投资组合 假设三种证券A、B、C,可以求得 关于 的函数： 【例7.3】三种股票的收益率、方差、协方差等数据如 表7.7所示。 表7.7 三种股票的收益率、方差、协方差数据 回本章目录 ABC 收益率5%10%15% 方差0.500.460.53 协方差 回总目录回本章目录 解：相同收益条件下证券组合的不同比例 斜率： 截距： 代入前面函数可得等收益直线如图7.14。 图7.14 等收益直线 回本章目录 回总目录回本章目录 解（续）： 相同标准差条件下的不同投资比的证券组合： 将 代入求方差的公式可得： 一般形式为 是椭圆通式。 回本章目录 回总目录回本章目录 1.图解法（续） 选定一个方差,设定某种证券的比例,通过反复重复这个 计算过程，可以得到所希望得到的椭圆上的许多点。随着 所选的证券组合的方差变小，椭圆的大小也变得越来越小 ，最后收敛于点MVP。对于给定的含有三种股票的协方差 矩阵，点MVP则表示了可能达到的最低的证券组合方差。 得到如下等方差椭圆： 图7.16 等方差椭圆曲线（2） 回总目录回本章目录 1.图解法（续） 等预期收益率线与等方差椭圆重叠画于图7.17中。直线NY为 临界线，它表示出最小方差边界中的证券组合的投资比例。通过 描述等预期收益率线与等方差椭圆相切的点的轨迹就可以得到该 临界线。 图 7.17 最小方差边界中证券组合的投资比例 回本章目录 回总目录回本章目录 根据临界线上不同的XA,XB组合,可以得到 有效边界如图7.18。 图7.18 有效边界 回本章目录 回总目录回本章目录 2.数学分析法 （1）极小微分法.当证券组合中包含三种以上的证 券时, 三种以上的证券组合方差为： 根据有效边界定理，投资者在收益率一定的条件 下，总是寻求风险最小的证券组合： 回本章目录 回总目录回本章目录 引入拉格朗日目标函数,并做偏微分,可得： 解此联立方程组 给出不同的 ，则可以得到不同的 ，并求出 ，这样就可以得到有效边界曲线。 回本章目录 回总目录回本章目录 （2）极大微分法。计算投资组合中收益率为最大 的情形，而求出有效边界曲线。 上式中的（3）是限制行数，要求出 的极大值。 假设为投资者的风险规避系数，值从0到无穷大。 若=0，表示投资者 是风险爱好者，愿意承担相当大 的风险；若，则表示投资者较为保守，不愿意 承担太大的风险。在极大微分法中，须在Rp前乘。 回本章目录 回总目录回本章目录 利用拉格朗日目标函数法，得到如下函数形式： 要求Y值的极大化，将Y对所有的以及求偏微分，并使其 为0，可得： 可以解出 将不同类型投资者的不同数值的代入，即求得，而求 得Rp和p，在坐标系上可以得到不同的证券组合，并画出有效边 界曲线。 回本章目录 回总目录回本章