大进中学：莫海霞 四边形综 合解题 如图，梯形ABCD中，ADBC，DCB=45， CD=2， BDCD.过点C作CEAB于E,交对角线BD 于F,点G为BC的中点,连接EG、AF. （1）求EG的长; （2）求证:CF=ABAF 解题的三大步骤 一、读题并分析 二、整理并书写 三、回顾反思 （）“梯形ABCD, ADBC”. AD与BC是梯形ABCD的底. ADBC结合图形可以得到一些角 之间的关系: BADABC=180,BCDADC=180, ADB=DBC.梯形的常用辅助线有:延长两腰;作一腰的平 行线;（过顶点）作底的垂线;平移一条对角线;腰上有中点 时可作梯形中位线或与另一腰的顶点连接并延长与一底的 延长线相交. （）“DCB=45”结合（）易得ADC=135 （）“CD=2”应该跟计算线段的长 度有关 读已知 （）“BDCD”BDC=90,BDC是直角三角形,结合 条件（）、（）可知ADB=DBC=45,进一步可得 DB=DC, BDC是等腰直角三角形, DBC=DCB=45, 等腰直角三角形与正方形关（绕斜边的中点旋转180或 沿斜边所在直线对称,与原三角形构成正方形）,直角边 DC绕直角顶点顺时针旋转90与另一直角边DB重合. 利 用等腰三角形“三线合一”可看出等腰三角形的常用辅 助线.结合（）可得DB=2,BC=2 读已知 读已知 （）“点G为BC的中点” 可得 BG=GC, 连接EG后结 合直角BEC可得EG= BG=GC= BC, （）“过点C作CEAB于E,交对角线BD于F” BEC=90, BEC、BEF是直角三角形,CE与BD相交 形成两对对顶角BFE=DFC,EFD=CFB, CDF与BEF中可得FBE=DCF. 读所求 “（1）求EG的长”要求EG的长,从读题的信息（）中已 得到解决“（2）求证:CF=ABAF” 这是一个说明一条线段等于两条线段的和的问题.常规做 法“截长补短”.如果截长就在CF上截CM=AB,证 FM=AF,截CM=AF,证FM=AB.若截CM=AB（如图2）, 要证FM=AF,即证线段相等,证线段相等的方法有证两线段 所在的三角形全等;可用在同一三角形的底角相等;可利用 等量的性质;特殊的四边形的边角关系; 读所求 若通过全等三角形,则需证DAFDMF,由图可知DF=DF 要证边等,不可能用SSS,只能在SAS、ASA、AAS中进行选择 .若用SAS,还需DA=DM, ADF=MDF.由（）知,只须 MDF=45,则须MDC=45,即须MDF=MDC =ADF=45,要使MDC =ADF,这是证明角等的问题.证 明角等的方法:通过证明三角形全等,等边对等角,平行,运用等 量性质,特殊四边形的性质. 若证明三角形全等,证 DABDMC,由辅助线知CM=AB,由（）知DB=DC,由 （）知FBE=DCF.于是问题得到解决. 信息结构图 地方 整理并书写 （1） 解 BDCD, DCB=45, DBC=DCB=45. DB=DC=2. 在RtBDC中,BC= CEAB, 点G为BC的中点, （2） 证明:在CF上截CM=AB,连接DM CEAB, BDCD, EBFEFB =90, DFCDCF =90, EFB =DFC, EBF=DCF. 整理并书写 又 DB=DC, CM=AB, DABDMC（SAS）. DA=DM, MDC =ADF, ADBC, ADF=DBC =45, MDC =45. MDF=DBCMDC=9045=45. MDF=ADB. 又DF=DF, DAFDMF（SAS）. FM=AF. CF=CMFM=ABAF. 整理并书写 回顾并反思 （1）本题第（1）小题中,运用了等角对等边,直角三 角形两锐角的关系,勾股定理,直角三角形斜边的中线 等于斜边的一半. 第（2）小题中,通过“截长”法添 加辅助线,证两次三角形全等得到求证.运用了直角三 角形两锐角的关系,对顶角相等,等量性质,全等三角形 的性质,角之间的和差关系,平行线的性质等. （2）从做题的过程和得到的结论中又得出的结论: AFD=CFD. （3）证明过程有需要删改的地方吗?我们发现,在得 到DA=DM,结合MDF=ADB.若连接AM（如图3）,利用 等腰三角形的“三线合一”可得:BD垂直平分AM,于是 FA=FM.少证一次全等. 回顾并反思 （4）由（3）引发对辅助线添法的思考.笔者认为:不 同的视角会得到不同的辅助线, 回顾并反思 同样的辅助线会有不同的视角.至于这些添加的辅 助线是否一定行得通,需要我们进一步探求. 根据在“读题并分析”中存在的大量信息,结合图 形作如下思考.这些思考肯定存在有漏掉情形或不 妥,甚至是错误的地方.请指正. 回顾并反思 构造三角形全等的角度 若保持DAB不变,根据“读题并分析”的信息 ,DB=DC, EBF=DCF.可构造CM=AB或 ADB=MDC或DAB=DMC.使得DABDMC.进 一步证明即可.其添辅助线后如图（2）. 回顾并反思 若保持DCF不变,根据“读题并分析”的信息 ,DB=DC, EBF=DCF.可构造CF=MB或 CDB=MDB或DMB=DFC.使得 DMBDFC.进一步证明即可.其添辅助线后如图 （4）. 回顾并反思 等腰三角形的角度“三线合一”可得辅连接助线 DG如图（5）. 延长FD到M,使FD=MD,连接CM, 延长AD交 CM于N,构造等腰MCF,如图（6）. 回顾并反思 延长CD到M,使CD=MD,连接FM,构造等腰MCF, 须证M、A、F共线,如图（7）. 延长CD到M,使CD=MD,连接FM、BM,构造等腰 MCF、MCB,须证M、A、F共线,如图（8）. 回顾并反思 梯形常用辅助线 延长两腰得如图（4）辅助线 过一顶点作底边上的高可得如图（5） 回顾并反思 旋转角度 将DAB绕点D逆时针旋转90得到DMC, 如图（2）. 将DCF绕点D顺时针旋转90得到DBM, 如图（4）. 回顾并反思 轴对称 等腰梯形的对称性 延长AD到N,使DN=DA,连接CN 并延长CN交BD的延长线于点M,如图（6）. 等腰三角形的对称性 如图（5）、（7）、（8）. 回顾并反思 截长补短 截长 在CF上截CM=AB,连接DM,如图（2）. 补短 延长BA到M,使AM=AF,连接DM, 如图（4）; 延长FA到M,使AM=AB,连接DM, 如图（7） 回顾并反思 其他 如中点,线段的转化等角度. （6）针对题目给出的图,前面问题的解决是在默 认2ADBC情况下进行的.若2ADBC情况又如何呢? 若2AD=BC时,点B与点E、F重合, 如图（9）,原题 结论不变. 若2ADBC时, 如图（10）,原题结论不变.其解决 办法与前面基本相同. 回顾并反思 谢谢大家！