1 1 用截面法作梁的内力图用截面法作梁的内力图 2 2 梁的应力与强度条件梁的应力与强度条件 3 3梁的变形梁的变形 第九章第九章 梁的平面弯曲梁的平面弯曲 1 第九章第九章 梁的平面弯曲梁的平面弯曲 承受弯曲作用的杆，称为梁。承受弯曲作用的杆，称为梁。 轴向拉压轴向拉压内力为轴力。内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。直杆：杆件的轴线为直线。 杆的杆的可能变形为：可能变形为： 轴向拉压 弯 曲 扭 转 扭转扭转 内力为扭矩。内力为扭矩。如各种传动轴等。如各种传动轴等。 ( (轴轴) ) 弯曲弯曲 内力为弯矩。内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等如桥梁、房梁、地板等。( (梁梁) ) 概述概述 返回主目录返回主目录 2 梁的分类梁的分类 平面问题，梁受平面问题，梁受 三个约束，都是三个约束，都是 静定梁。静定梁。 平面弯曲平面弯曲 悬臂梁悬臂梁 简支梁简支梁 F F q 外伸梁外伸梁 MM 梁有纵向对称面，且载荷均作用在梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。在该平面内，称为平面弯曲。 纵向对称面纵向对称面 梁的横截面梁的横截面 都有对称轴都有对称轴 集中力，集中力偶，分布载荷集中力，集中力偶，分布载荷 返回主目录返回主目录 3 截面法求内力的步骤：截面法求内力的步骤： 求约求约 束反束反 力力 截取截取 研究研究 对象对象 受力图，受力图， 内力按正内力按正 向假设。向假设。 列平衡列平衡 方程方程 求解内力，负号求解内力，负号 表示与假设反向表示与假设反向 内力 右截面正向 左截面正向 微段变形（正） 内力的符号规定内力的符号规定 y x 左上右左上右下，下，F FQ Q为正 为正 左顺右左顺右逆，逆，MM为正为正 x F FS S MM MM F FS S 顺时针错动 FS 向上凹 M 9.1 9.1 用截面法作梁的内力图用截面法作梁的内力图 返回主目录返回主目录 4 例例1 1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。求悬臂梁各截面内力并作内力图。 解：解：1 1）求约束力。）求约束力。 画受力图。画受力图。 由平衡方程得：由平衡方程得： F FA Ax x =0; =0; F F A Ay y = =F F; ; MM A A = =FlFl 2 2）求截面内力。）求截面内力。 截面截面x x处内力按正向假设，处内力按正向假设， 在在0 0 x xb时，截面上时，截面上y y相同处相同处t t相同。相同。 y y= h/2= h/2处，处，t t=0=0。 t t maxmax 弯曲梁中有剪应力。弯曲梁中有剪应力。 纵向面上的剪应力纵向面上的剪应力 t t 由由剪应力互等定理确定。剪应力互等定理确定。 t t 是是y y的函数，呈抛物线分布的函数，呈抛物线分布 ，最大剪应力在中性轴处且，最大剪应力在中性轴处且 等于平均剪应力的等于平均剪应力的1.51.5倍。倍。 截面上截面上t t与与QQ平行，指向相同。平行，指向相同。 y= h/2y= h/2处，处，t t=0=0。 中性轴处，中性轴处， y y=0=0，I I z z = =bhbh /12 /12， 故有：故有： 剪应力强度条件：剪应力强度条件： m zbh FS I FSh tt5 . 1 2 3 8 2 max = max tt FS t t ) ) 4 4 ( ( 2 2 2 2 2 2 y y h h I I F FS SS S z z z z - - = =t t 25 讨论二讨论二、矩形截面梁矩形截面梁ABAB受力如图。受力如图。 =150MPa=150MPa， t t=60MPa=60MPa， 若取若取h h/ /b b=2=2，试设计其尺寸。，试设计其尺寸。 解：解：1.1.求反力，求反力，作作F FQ Q、 、MM图。图。 2. 2. 按弯曲正按弯曲正 应力设计：应力设计： A B 1m 10kN10kN 4kN.m4kN.m 1m F FB B MM B B x x F FS S 10kN10kN x x MM 4kN.m4kN.m 6kN.m6kN.m 6/ 2 max max s= bh M 2. 2. 按弯曲剪按弯曲剪 应力设计：应力设计： 2 3 Smax max tt= bh F 一般按正应力设计，再校核剪切强度。一般按正应力设计，再校核剪切强度。 26 1. 1. 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力 s s 呈线性呈线性 分布，其大小为分布，其大小为 s s = =MyMy/ /I I z z 正负由弯曲后的拉压情况判断。正负由弯曲后的拉压情况判断。 2. 2. 中性轴过截面形心，该处正应力中性轴过截面形心，该处正应力 s s 等于零。等于零。 3. 3. 梁的梁的弯曲弯曲强度条件：强度条件： I I 为截面对为截面对z z 轴的惯性矩，轴的惯性矩，WW 为抗弯截面模量。为抗弯截面模量。 z z z z 4. 4. 矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪 应力在中性轴处且等于平均剪应力的应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.51.5倍。倍。 C C MM y y max压 s max拉 s y y z z b b h h FS t t t t maxmax = = 3F3F S S 2 2bhbh 小小 结结 27 杆的拉压杆的拉压 9.4.1 9.4.1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角 梁在梁在xyxy平面内弯曲平面内弯曲。 挠曲线：弯曲后梁的轴线。挠曲线：弯曲后梁的轴线。 伸长或缩短伸长或缩短 D DL L 轴的扭转轴的扭转单位扭转角单位扭转角 q q 梁的弯曲梁的弯曲变形变形 如何描述如何描述 ？ x x y y o o 挠曲线挠曲线 挠度挠度y y：梁弯曲后梁弯曲后各截面形心的垂直位移，各截面形心的垂直位移，y=y(x)y=y(x)。 c c c c x x 挠度挠度 转角转角 q q ：各截面转过的角度：各截面转过的角度( (角位移角位移) )， q q= =q q (x)(x)。 即即 x x处挠曲线的切线与处挠曲线的切线与x x轴的夹角。轴的夹角。 q q q q 转角转角 y y 为正为正 q q 截面截面 正正 9.4 9.4 梁的变形梁的变形 返回主目录返回主目录 28 再讨论再讨论: : 线性叠加方法线性叠加方法 在线弹性小变形条件下，在线弹性小变形条件下， s s = =E E e e ， 变形与载荷间有线性关系。变形与载荷间有线性关系。 图图( (a a)=)=图图(b)+(b)+图图(c)(c) l/4 x y B A F l C FA F FB B l/2l/4 F D (a) x y B A F C FA1 FB1 l/2 (b) l/4 x y B A FA2 FB2 F D (c) 若要求图若要求图( (a a) )中的中的y y C C 、 q qB B ， 有：有： y yC C= =y y C1C1 + +y y C2 C2 ; ; q qB B= =q q B1B1 + +q q B2B2 即可由已知简单情况的解即可由已知简单情况的解 ，用叠加方法求复杂载荷，用叠加方法求复杂载荷 情况下的变形。情况下的变形。 y y C C y y C1C1 y y C2C2 29 已有结果：已有结果： x x y y B B A A a a b b L L F F LEI bLFab z A 6 ) ( + -=q LEI aLFab z B 6 )(+ =q 转转 角角 情况一：情况一： x y B A F C l/2 l a a=b=b=l l /2/2 F(lF(l 2 2 / /4)(34)(3l l/2)/2) A1A1 l l EIEI z z 6 6 - = =q q - = = EIEI z z 4848 3Fl 3Fl 2 2 F(lF(l 2 2 / /4)(34)(3l l/2)/2) B1B1 l l EIEI z z 6 6 = =q q = = EIEI z z 4848 3Fl 3Fl 2 2 挠度挠度 4/3( 6 22 2/ Lb LEI FbL/2 y z Lx -= = ) ) ) 4 4 / / 3 3 2 2 2 2 l l l l /4/4 y y 1x=l/21x=l/2 - - ( ( 6 6lEIlEI Fl Fl 2 2 /4/4 z z = = Fl Fl 3 3 4848EIEI z z =-=- 30 已有结果：已有结果： x x y y B B A A a a b b L L F F LEI bLFab z A 6 ) ( + -=q LEI aLFab z B 6 )(+ =q 转转 角角 情况二：情况二： x y B A F D 3l/4 l a a=3=3l l/4/4 b=b=l l/4/4 F(F(3 3l l 2 2 /16/16)(5)(5l l/4)/4) A2A2 l l EIEI z z 6 6 - = =q q - = = EIEI z z 128128 5 5Fl Fl 2 2 挠度挠度 4/3( 6 22 2/ Lb LEI FbL/2 y z Lx -= = ) ) ) 4 4 / / 3 3 2 2 2 2 l l l l /16/16 y y 2 2x=l/2x=l/2 - - ( ( 6 6lEIlEI Fl Fl 2 2 /8/8 z z = = 11Fl 11Fl 3 3 768768EIEI z z =-=- F(F(3 3l l 2 2 /16/16)(7)(7l l/4)/4) B2B2 l l EIEI z z 6 6 = =q q = = EIEI z z 128128 7 7Fl Fl 2 2 31 情况一：情况一： x y B A F C l/2 l 情况二：情况二： x y B A F D 3l/4 l 叠加后得到：叠加后得到： l/4 x y B A F C l/2l/4 F D l A1A1 = =q q - EIEI z z 4848 3Fl 3Fl 2 2 B1B1 = =q q EIEI z z 4848 3Fl 3Fl 2 2 y y 1C1C Fl Fl 3 3 4848EIEI z z =-=- A2A2 = =q q - EIEI z z 128128 5 5Fl Fl 2 2 y y 2C2C 11Fl 11Fl 3 3 768768EIEI z z =-=- B2B2 q q = = EIEI z z 128128 7 7Fl Fl 2 2 A A = =q q - EIEI z z 384384 3939Fl Fl 2 2 B B = =q q EIEI z z 384384 4545Fl Fl 2 2 y y C C 27Fl 27Fl 3 3 768768EIEI z z =-=- 返回主目录返回主目录 32 除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能除保证梁的强度条件外，还可能要求变形不能 超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件：超过允许的限度。即需满足梁的刚度条件： ； y y 、 q q 分别为构件的许用挠度和许用转角。分别为构件的许用挠度和许用转角。 一般主要是控制挠度。一般主要是控制挠度。 9.4.49.4.4 梁的刚度条件梁的刚度条件 返回主目录返回主目录 33 例例9.149.14