首页 2一致收敛函数列与函数项级数的性质 一、一致收敛函数列的性质 二、一致收敛函数项级数的性质 首页 定理 13.8 设函数列 fn 在 (a , x0 )(x0 , b) 上 一致收敛于 f ，且 则 即 一、一致收敛函数列的性质 这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序 首页 证 先证数列 an 收敛因为 fn 一致收敛， 故对任给的 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x (a , x0 )(x0 , b) 有 | fn(x) f n+p(x) | 0 , 存在 N 0 , 当 n N 时， 对任何 x (a , x0 )(x0 , b) 有 | fn(x) f (x) | 0 , 当 n N 时，对一切 x a , b， 都有 | fn ( x ) f ( x ) | N 时有 证毕 定理 13.11（可微性） 设 x0a , b 为 fn 的收 敛点，且 fn ( n = 1, 2, . . . ) 在 a , b 上有连续的导数， fn 在 a , b 上一致收敛，则 证设 由题设及定理 13.9 知，g 在 a , b 连续 先证： fn 在 a , b 收敛 对任何 x a , b ，由牛顿-莱布尼兹公式，总有 因为 fn(x) 在 a , b 上连续，由定理13.10 ，得 所以极限 存在，设 首页 于是 由于 g 在 a , b 上连续，再由微积分基本定理，得 即 证毕 首页 二、一致收敛函数项级数的性质 定理 13.12（连续性） 若函数项级数un(x)在 a , b 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在 a , b 上也连续 在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺 序，即 首页 定理 13.13（逐项求积） 若函数项级数un(x)在 a , b 上一致收敛，且每一项都连续，则 首页 定理 13.14（逐项求导） 若 x0a , b 为un(x) 的收敛点， un (x) ( n = 1, 2, . . . ) 在 a , b 上有连续的 导数， un (x) 在a , b 上一致收敛，则 首页 例3 设 证明函数项级数un(x) 0 , 1 上一致收敛，并讨论其 和函数在0 , 1 上的连续性，可积性与可微性