18.2.1 矩形 (2) -矩形的判定 学习目标 1、掌握矩形的判定方法； 2、经历经历 探索四边边形是矩形的条件过过 程，在活动动中发发展探究意识识和有 条理的表达能力. 复习回顾 四边形 平行 四边形 两组对边 分别平行 一个角 是直角 矩形 四边形集合 平行四边形集合 矩形集合 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 边 对角线 角 A B C D O 矩形对边平行且相等； 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等且互相平分； 直角三角形的斜边中线的性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1、已知：矩形ABCD的对角线交于的O. （1）若AB=8，AD=6， 则AC_，OB=_ （2）若DOC=120，AC8， 则AD= _cm，AB= _cm O DC BA 5 10 4 6 8 课堂练习： 120 O DC BA 8 ？ ？ ？ 30 4 D C B A 2.已知ABC中，ABC=900，BD是斜边AC上的中线。 (1)若BD=3，则AC (2)若C=30，AB5，则AC ，BD . 6 5 10 30 5 1 3 2 6 8 6 x x 8 - x 62 + (8 - x)2 = x2 3. 如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在 点E处，EC与AD相交于点F. （1）求证：FAC是等腰三角形； （2）若AB=6，BC=8，求FAC的周长和面积. 10 矩形的定义： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 你还有其它的判定方法吗？ ABCD A=900 ABCD是矩形 测量？ 木工朋友在制作窗框 后，需要检测所制作的窗 框是否是矩形，那么他需 要测量哪些数据，其根据 又是什么呢？ 情境：如果工人师傅已经 量得窗框的两组对边相等， 接着量一量这个窗框的两条 对角线长度，如果对角线长 相等，则窗框一定是矩形， 你知道为什么吗？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。 命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 已知：平行四边形ABCD中，AC=BD。 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D 证明: AB=DC ABC DCB（SSS） AB/CD ABC+DCB=180 ABC=DCB=90 又 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是矩形 ABC=DCB 四边形 ABCD是平行四边形 又 AC=DB，BC=CB 对角线相等的平行四边形是矩形 。 归纳：矩形的判定方法2 几何语言： 四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD 四边形ABCD是矩形 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） A BC D O （或OA=OC=OB=OD） 有一个角是直角 有两个角是直角 有三个角是直角 的 四边形是矩形吗？ 情境：李芳同学用画“ 边直角、边直角、 边直角、边”这样四步， 画出了一个四边形，她说这 就是一个矩形，她的判断对 吗？为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。 你能证明上述结论吗？ 归纳：矩形的判定方法3 有三个角是直角的四边形是矩形 。 A B C D A=B=C=90 四边形ABCD是矩形 几何语言： 你能归纳矩形的几种判定方法吗？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形） 有三个角是直角的四边形是矩形 方法1： 方法2： 方法3： 测量 ？ 现在你可以帮助木工 朋友检测所制作的窗框是 否是矩形了吧，你可以测 量哪些数据，有几种方案 ，根据又是什么呢？ 分别测量出两组对边的长度和 一个内角的度数，如果两组对边的 长度分别相等，且这个内角是直角 ，则窗框符合规格 方案1: 先用两组对边相等判定是平行四边,再用 定义判定是矩形 测量出三个内角的度数，如果三 个内角都是直角，则窗框符合规格 方案2: 有三个角是直角的四边形是矩形 分别测量出窗框四边和两条对角 线的长度，如果窗框两组对边长度、 两条对角线的长度分别相等，那么窗 框符合规格 方案3: 先用两组对边相等判定是平行四边，再用 对角线相等判定是矩形 分别测量出一组对边的长度和 这组同旁内角的度数，如果这组对 边的长度相等，且这两个内角都是 直角，则窗框符合规格 方案4: 先用一组对边平行且相等判定是平行四 边，再用定义判定是矩形 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形； （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （3）有一个角是直角的四边形是矩形； （5）有三个角是直角的四边形是矩形； （6）四个角都相等的四边形是矩形； （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形 是矩形； （9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （8）一组对角互补的平行四边形是矩形； （4）有三个角都相等的四边形是矩形; X X X X X X X X 例1：如图，M为平行四边形ABCD边AD的 中点，且MB=MC， 求证：四边形ABCD是矩形。 A B C D M 例例2 2：已知：如已知：如图图图图，ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O ， AB CD AB CD ，且，且1=1=2 2 。 求求证证证证：四：四边边边边形形ABCDABCD是矩形是矩形 3 3 例例3 3：已知已知: :如如图图图图, ,四四边边边边形形ABCDABCD的的对对对对角角线线线线ACAC与与BDBD相相 交交 于点于点O O，且，且ACACBDBD。E E、F F、G G、H H分分别别别别是是ABAB、 BCBC、CDCD、ADAD的中点。的中点。 求求证证证证：四：四边边边边形形EFGHEFGH是矩形是矩形 例4：已知MNPQ，同旁内角的平分线 AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D （1）猜想AC和BD间的关系是_； （2）试用理由说明你的猜想 1 2 AC=BD 例5：如图,在ABC中,点0是AC边上的一个动点, 过点0作直线MNBC,若MN交BCA的平分线于 点E,交BCA的外角平分线于点F. A BC M N 0 ) 1 ) 2 ( 5 ( 4 ( 3 ( 6 (1)求证:0E=0F E F 证明：CF平分ACD 1=2 又 MNBC 1=3 2=3 OC=OF 同理可证：OC=OE OE=OF D (2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 例5：如图,在ABC中,点0是AC边上的一个动 点,过点0作直线MNBC,若MN交BCA的平分 线于点E,交BCA的外角平分线于点F. A BC M N 0 ) 1 ) 2 ( 5 ( 4 ( 3 ( 6 (1)求证: 0E=0F E F D (2)当0运动到何处时, 四边形AECF为矩形? 答：当点0为AC的中点时， 四边形AECF是矩形 理由：由（1）知0E=0F 又AO=CO 四边形AECF是 又EC、FC分别平分ACB 、ACD 2+4=90即ECF=90 AECF是矩形 1。八年级级（3）班的同学要在广场场上布置一个矩形的花坛坛，计计划 用红红花摆摆成两条对对角线线.如果一条对对角线线用了38盆红红花，还还需要从 花房运来多少盆红红花？为为什么？如果一条对对角线线用了49盆呢？ 答：（1）需要再搬来38盆红红花。根据矩形对对角线线相等， 以及对对角线线交点处处不放花。 （2）需要再搬来48盆红红花。根据矩形对对角线线相等， 以及对对角线线交点处处要放花。 分析：由于38是偶数，因此对对角线线的中点在第19盆红红 花和第20盆红红花的中间间。由于49为为奇数，因此对对角 线线的中点在第25盆红红花处处。 ( P55页 ) 2 . 如图图，口ABCD的对对角线线AC、BD相交于点 O，OAB是等边边三角形，且AB=4. 求口ABCD的面积积. 解：OAB是等边边三角形且四边边形 ABCD的对对角线线AC、BD互相平分 AO=OB=OC=OD=AB=DC=4 AOB=60 AOD=120 又AO=DO ADC=90 四边边形ABCD是矩形 AC=8 ，DC=4， AD= 平行四边边形ABCD面积为积为 48 30 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 。 （对角线相等且互相平分的四边形是矩形。） 有三个角是直角的四边形是矩形 。 方法1： 方法2： 方法3： 作业 课本课本P60P60页页 第第1 1、2 2、3 3、4 4 题题 练习册练习册 P 23-25 P 23-25 页页