第11章 统计决策 11.1 统计决策的基本概念 11.2 完全不确定型决策 11.3 一般风险型决策 11.4 贝叶斯决策 学习目标 1.统计决策的基本概念、基本工具和基本 步骤； 2.完全不确定决策的基本准则及其使用场 合； 3.风险型决策的基本准则及其应用； 4.贝叶斯决策的概念； 5.后验概率计算与后验分析； 6.完全信息价值与补充信息价值的概念及 其应用。 11.1 统计决策的基本概念 一、什么是统计决策 二、统计决策的基本步骤 三、收益矩阵表 什么是统计决策 狭义的统计决策方法是一种研究非对 抗型和非确定型决策问题的科学的定量 分析方法。 统计决策的基本步骤 （一）确定决策目标 决策目标是在一定条件制约下，决策者希望达到的结果 。反映决策目标的变量，称为目标变量。 （二）拟定备选方案 备选方案是决策者可以调控的因素，备选方案中所调控 的变量称为行动变量。所有备选方案的集合称为行动空间 。 （三）列出自然状态 自然状态是指实施行动方案时，可能面临的客观条件。 所有可能出现的状态的集合称为状态空间，而相应的各种 状态可能出现的概率的集合称为状态空间的概率分布。 （四）选择“最佳”或“满意”的方案 （五）实施方案 收益矩阵表 表11-1 收益矩阵表 状态12n 概率P1P2Pn 方 案 a1q11q12q1n a2q21q22q2n amqm1qm2qmn 收益矩阵的元素qij反映在状态j下，采 用行动方案ai得到的收益值。这里所说的 收益是广义收益指标。收益是行动方案 和自然状态的函数，可用下式表示： qij Q (ai , j ) i =1,2,m; j=1,2,n 11.2 完全不确定型决策 一、完全不确定型决策的准则 二、各种准则的特点和适用场合 完全不确定型决策的准则 （一）最大的最大收益值准则 在决策时，先选出各种状态下每个方 案的最大收益值，然后再从中选择最大 者，并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。 （二）最大的最小收益值准则 在决策时，先选出各种状态下每个方 案的最小收益值，然后再从中选择最大 者，并以其相对应的方案作为所要选择 的方案。 （三）最小的最大后悔值准则 后悔值是由于决策失误而造成的最大可能的收益值与实 际收益值之差。方案ai在状态j下的后悔值，可按下式计算： rij max Q (ai ,j ) qij 式中，max Q (ai ,j )是在第j 种状态下，正确决 策有可能得到的最大收益，qij是收益矩阵的元素。显 而易见，rij0 。最小的最大后悔值准则主张：应在 求出后悔矩阵的基础上，先选出各种状态下每个方 案的最大后悔值，然后再从中选择最小者，并以其 相对应的方案作为所要选择的方案。 （四）折衷准则 该准则主张根据经验和判断确定一 个乐观系数（01），以和1分 别作为最大收益值和最小收益值的权数 ，计算各方案的期望收益值E(Q(ai) E(Q(ai) = qij +(1) qij 并以期望收益值最大的方案作为所 要选择的方案。 （五）等可能性准则 该准则假定各种状态可能出现的概 率相同,在此基础上求各方案收益的期望 值，并以期望收益值最大的方案作为所 要选择的方案。 各种准则的特点和适用场合 最大的最大收益值准则一般只有在客观情况确实 很乐观，或者即使决策失误，也完全可以承受损失 的场合才采用。 最大的最小收益值准适用于对未来的状态非常没 有把握，或者难以承受决策失误损失的场合。 最小的最大后悔值准则适用于不愿放过较大的获 利机会，同时又对可能出现的损失有一定承受力的 场合。 折衷准则和等可能性准则都是以各种方案的收益 的期望值作为选择方案的标准。折衷准则事实上是 假定未来可能发生的状态只有两种：即最理想状态 和最不理想状态。前者发生的概率是，后者发生的 概率是（1）。当1时，该准则等价于乐观准 则，而当0时，该准则等价于悲观准则。 11.3 一般风险型决策 一、然状态概率分布的估计 二、风险型决策的准则 三、利用决策树进行风险型决策 自然状态概率分布的估计 客观概率是一般意义上的概率，通常 是由自然状态的历史资料推算或按照随 机实验的结果计算出来的。 主观概率是决策者基于自身的学识和 经验作出的对某一事件发生可能性的主 观判断。 风险型决策的准则 （一）期望值准则 以各方案收益的期望值的大小为依 据，来选择合适的方案。 E(Q(ai) (i =1,2,-,m) 式中，E(Q(ai)是i方案的收益的期望 值，是i方案在出现j状态时的收益值；是j 状态出现的概率。 （二）变异系数准则 在期望值达到一定数额的前提下，以 变异系数较低的方案作为所要选择的方 案。 方差Var(ai)和变异系数V的计算公式如 下： Var(ai) =E(Q(ai) (i =1,2,m) Vi (i =1,2,m) （三）最大可能准则 在最可能状态下，可实现最大收益值的方案为最 佳方案。 最大可能准则是将风险条件下的决策问题，简化 为确定条件下的决策问题。只有当最可能状态的 发生概率明显大于其他状态时，应用该准则才能 取得较好的效果。 （四）满意准则 利用这一准则进行决策，首先要给出一个满意水 平。然后，将各种方案在不同状态下的收益值与 目标值相比较，并以收益值不低于目标值的累积 概率为最大的方案作为所要选择的方案。利用该 准则的决策结果，与满意水平的高低有很大关系 。 利用决策树进行风险型决策 决策树是是一种将决策问题模型化的树 形图。决策树由决策点、方案枝、机会 点、概率枝和结果点组成。利用决策树 对方案进行比较和选择，一般采用逆向 分析法，即从树形结构的末端的条件结 果开始，从后向前逐步分析。 决策树比较适用于求解复杂的多阶段 决策问题。 图11-2 例11-9的决策树图 什么是贝叶斯决策 贝叶斯决策，是利用补充信息根据贝叶 斯公式来估计后验概率，并在此基础上 对备选方案进行评价的一种决策方法。 先验分析与后验分析 先验分析是利用先验概率进行决策，而 后验分析是利用后验概率作为选择与判 断合适方案的依据。一般来说，只要补 充信息是准确的，则后验分析的结论更 为可靠。 完全信息价值与补充信息价 值 完全信息，是指在对某一问题进行决策 时，对于所有可能出现的状态都可以提 供完全确切的情报。完全信息的价值， 可以由掌握完全信息前后，所采取的不 同行动方案的收益值的差额来表示。用 收益值差额的期望值来综合反映完全信 息的价值。