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平行束和扇形束算法的转换 16级 曹婷婷、敖经盛 2017年7月 1 平行束图像重建(FBP) 扇形束图像重建 2 平行束图像重建 1、图像重建的基本原理 CT中用探测器测量X射线透过人体后的强 度值,即为X射线与人体相互作用后沿某一方向 的线积分(投影)。 x射线扫描通过路径后 其中P为投影值 基本出发点是:寻求衰减系数 分布。 3 中心切片定理: 二维图像的一维投影(线积分)的傅立叶变换,恰好等于图像本身 的二维傅立叶变换的一个特定截面。 4 通过转动投影方向,可以得到各个方向上傅立叶变换的特定截面,从而 获得整个二维平面的傅立叶变换,最后由傅立叶逆变换得到重建的图像 5 平行束图像重建 滤波反投影法(FBP) (1)求投影数据 的以s为变量的一维傅里叶变换, 得到 (2)对 乘以斜波滤波器的传递函数 ,得到 (3)求 的以 为变量的以为傅里叶反变换,得到 6 7 将直角坐标(u,v)转换成极坐标(w, ). 雅各比行列式为 故 则 具体的推导 根据中心切片定理,可以用P来代替F: 其中 是斜坡滤波器的传递函数 8 9 交换积分次序: 卷积的形式 卷积核 最终的形式: 扇形束图像重建 对于平行束成像,我们用中心切片定理推导出 了一些图像重建的算法。对于扇形束成像,并没 有相应的中心切片定理。 转换的思路: 把所有的扇形束射线放在一起进行分组,把 互相平行的射线分为一组,这样就把扇形束的成 像问题简化为平行束的成像问题。 10 对与扇形束成像,我们 并没有相应的中心切片 定理。我们只好想个别 的办法来推导扇形束的 图像重建算法。这个办 法就是把扇形束的成像 问题转化成平行光束的 成像问题,把平行光束 图像重建的算法修正一 下然后应用于解决扇形 束的成像问题中。 11 12 13 等角度扇形重建算法 出发点是平行束的FBP的算法推导,但是要用极 坐标 ,而不是直角坐标系(x,y)的表 达式,所以要对坐标进行替换: 14 已知平行束重建算法为: 转化为极坐标后得: 15 利用 将平行束的变量dsd换成扇形束的变量dd, 其中雅克比因子为 ,这样可得 变成 对这一部分利用几何关系化简 16 17 斜坡滤波器卷积核的一个特殊性质: 证明过程如下:斜坡滤波卷积核的定义是 18 不加窗时成立,加窗时 会使重建不精确 19 20 假如我们现在想重建某点 的值,我们先确定一个,即确定了 源的位置,由于重建点的位置也是确定的,故D和均为确定的值。然后用卷积 核 对不同角的信号进行卷积。 当这个 角度的卷积完成后, 我们对0-180所有角度的做 一个积分,即背投影过程。 这就是扇形束的滤波背投影算法。 短扫描 在平行光束成像中,当探测器绕物体旋转2 (即360), 每一条投 影射线都被测了两次。冗余的数据可由下面这个表达式给出 可见, 由两个面对面的探测器测得的数据都是冗余的。所以,探测器 旋转180 即可提供足够的数据。 21 根据同样的道理,当扇形束探测器旋转2, 每条投影射线也都被测 到了两次。冗余的数据可由下面这个表达式给出 由于数据冗余,在扇形束数据采集中没有必要让探测器做2 全扫 描。扫描角度() 可以小于2, 这种扫描方式叫做短扫描。 22 角度 的最小取值范围取决于数据采集时物体与探测器之间的几 何关系。角度的最小取值区间可能小于 (下图左),可能等于 (中),也可能大于 ( 右)。确定扫描区间的原则是,我们感兴趣的 物体中的每一点都要有180的角度覆盖。 要注意的是,在扇形束短扫描成像中,并不是所有的线积分都被刚好 测到一次。有些线积分被测到一次,而另一些线积分会被测到两次。 即使在扫描角度 的范围小于 的情形, 还是有一些线积分会被测 到两次的。其实,任何直线,只要它与扇形的焦点轨迹有两个交点, 那么沿这条线的线积分就被测到了两次(图3.10)。 23 其实,任何直线,只要它与扇形的焦点轨迹有两个交点,那么沿这条 线的线积分就被测到了两次。为了获得足够的数据来做断层成像,我 们要求过物体的每一条线的线积分都要至少被测到一次。对于冗余的 数据,在图像重建时需要施加适当的权函数来处理。举例来说,若一 个线积分被测到了两次,对它们要进行加权,而且它们的权因子之和 一定要是1。 24 25 数据冗余条件 主要参考资料: 1 CT重建算法;闫镔,李磊 编著;2014,科学出版社 2 CT重建算法;曾根生;2009年,高等教育出版社 26
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