1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积 1.了解棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算公式(不要求记忆公 式). 2.理解直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式的推导过程. 3.会求简单几何体的侧面积和表面积. 123 名师点拨 斜棱柱的侧面积需先计算出各个侧面的面积之后再求 和,也可以先作出斜棱柱的直截面(与棱柱的侧棱垂直的截面),设其 周长为c,侧棱长为l,则S斜棱柱侧=cl. 123 答案:B 123 【做一做1-2】 已知棱长为1,各面都是正三角形的四面体,则它 的表面积是 . 123 123 2.圆柱、圆锥、圆台的表面积 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式: S圆柱侧=cl=2rl,其中l为圆柱的母线长,c为底面圆的周长,r为底面 圆的半径. 123 (2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式: 圆柱表面积:S圆柱=2r2+2rl=2r(r+l). 圆锥表面积:S圆锥=r2+rl=r(r+l). 圆台表面积:S圆台=(r2+r2+rl+rl). 知识拓展 表面积是几何体表面的面积,它表示几何体表面的大小, 有时表面积又称为全面积.通常把几何体的表面展成平面图形,利 用平面图形来求几何体的表面积.侧面积是指侧面的面积,与表面 积不同.一般地,表面积=侧面积+底面积.利用侧面展开图或截面把 空间图形问题转化为平面图形问题,是解决立体几何问题的常用手 段. 123 【做一做2-1】 如图,圆锥的底面半径为1,高为 A.B.2C.3 D.4 答案:C 123 【做一做2-2】 如果圆台的母线与底面成60角,那么这个圆台 的侧面积与轴截面面积的比值为( ) 解析:可以把母线的长设为1,根据已知求出圆台的高,进而根据公 式分别求出圆台的侧面积和轴截面的面积. 答案:C 123 3.球的表面积 S球=4R2,其中R为球的半径. 名师点拨 1.球的表面积可用语言叙述为:球面面积等于它的大圆 面积的四倍. 2.球面不能展开成平面图形,因此不能根据柱、锥、台的推导方 法求球的表面积. 3.不要求掌握球的表面积公式推导的过程,只要求记住公式并会 应用. 123 【做一做3-1】 若球的大圆周长为C,则这个球的表面积是( ) 答案:C 123 【做一做3-2】 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该 球的表面积为 . 解析:正方体的体对角线即为球的直径,即直径 所以S=4R2=27. 答案:27 柱、锥、台的侧面积公式之间的区别和联系 剖析:通过圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式:S圆柱侧=2rl,S圆锥侧 =rl,S圆台侧=(r1+r2)l三者之间的相互联系可以分析出(如图): 当r1变化时,相应的图形也随之变化,当r1=0,r2=r时,相应的圆台就 转化为圆锥,而当r1=r2=r时,相应的圆台就转化为圆柱,相应的侧面 积公式也随之变化. 名师点拨 一般棱柱、棱锥、棱台的侧面积的求法:因其结构特征 不一致,因此应该先分别计算各侧面的面积,然后再将各侧面面积 求和,即为相应的侧面积. 题型一题型二题型三题型四 【例1】 如图,正四棱锥底面正方形边长为4 cm,高与斜高的夹角为30,求 该正四棱锥的侧面积和表面积. 分析:根据多面体的侧面积公式,必须求出相应多面体的底面边 长和各侧面的斜高,进而根据相应的公式求解,把问题转化到三角 形内加以分析求解. 题型一题型二题型三题型四 解:正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OE组成一个RtPOE. 因为OE=2 cm,OPE=30, S正四棱锥表=S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+44=48(cm2). 反思 解决此类题目先利用正棱锥的高、斜高、底面边心距组成 的直角三角形求解相应的元素,再代入面积公式求解.空间几何体 的表面积运算,一般先转化为平面几何图形的运算,再充分利用平 面几何图形的特性通过解三角形完成基本量的运算. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练1】 已知一正三棱台的两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面积的和,求棱台的高. 分析:利用已知条件求出斜高,再利用正棱台中的直角梯形求高. 解:如图,在正三棱台ABC-A1B1C1中,O,O1为两底面中心,D,D1是 BC,B1C1的中点,则DD1为棱台的斜高. 题型一题型二题型三题型四 题型一题型二题型三题型四 分析:利用轴截面求母线长. 所以S上底=x2,S下底=(2x)2=4x2,S侧=(x+2x)2x=6x2,所以圆台 的上底面积、下底面积和侧面积之比为146. 题型一题型二题型三题型四 反思 圆台的轴截面包含圆台的各度量元素,是解有关圆台计算问 题常用的平面图形. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练2】 若一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形, 则该圆柱的表面积是( ) A.16 B.24 C.20D.28 解析:由已知得该圆柱的底面半径为2,母线长为4,所以其表面积 S=224+222=16+8=24. 答案:B 题型一题型二题型三题型四 【例3】 一个几何体的直观图如图,则该几何体的表面积等于 . 分析:该几何体是由上面的圆柱和下面的长方体拼接而成,拼接 面不能算作几何体的表面. 题型一题型二题型三题型四 解析:(方法一)该组合体的上半部分是一个底面半径为2,母线长 为8的圆柱,下半部分是一个长、宽、高分别为8,8,4的长方体. 圆柱的表面积是228+222=40, 长方体的表面积是(48+48+88)2=256. 两几何体重叠面的面积为22=4. 所以该组合体的表面积为S=40+256-24=256+32. (方法二)由该组合体的组合形式可知,圆柱的上底面可移至其拼 接面,因此其表面积恰好是下半部分的长方体的表面积与上半部分 圆柱的侧面积之和,故其表面积 S=(48+48+88)2+228=256+32. 答案:256+32 题型一题型二题型三题型四 反思 解答有重叠面的组合体的表面积类问题时,容易出现的错误 是将两个几何体的表面积相加后只减去一个拼接面的面积,这是由 于对几何体的组合特点理解不深致误. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练3】 如图,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中 心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为 . 解析:由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方体的表 面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加上圆柱的侧面积. 故其表面积S=622-0.522+20.52=24-0.5+2=24+1.5. 答案:24+1.5 题型一题型二题型三题型四 分析:根据长方体的体对角线长等于其外接球的直径这一关系列 式求解即可. 解:如图为过长方体的一条体对角线的截面. 设长方体有公共顶点的三条侧棱的长分别为x,y,z, 所以S球=4R2=9. 题型一题型二题型三题型四 反思 在处理球和长方体的组合问题时,通常是先作出过球心且过 长方体对角面的截面图,然后通过已知条件来求. 题型一题型二题型三题型四 【变式训练4】 求棱长为a的正四面体的外接球的表面积. 解:设正四面体ABCD的高为AO1,外接球球心为O,半径为R,如图, 连接OB. 正四面体的棱长为a, 题型一题型二题型三题型四 123456 1.已知正四棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此棱锥的侧面积为( ) A.6B.12C.24 D.48 答案:D 123456 答案:A 123456 3.如图是一个空间几何体的三视图,其中主视图为等腰直角三角形, 左视图与俯视图为正方形,则该几何体的表面积为( ) 123456 答案:B 123456 4.已知一个圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为S,则圆锥的底面面 积是 . 解析:如图,设圆锥底面半径为r,母线长为l, 123456 5.正四棱台的高是12 cm,两底面边长相差10 cm,表面积是512 cm2, 则两底面的边长分别是 . 解析:如图,设正四棱台的上底面边长A1B1=a cm, 则AB=(a+10)cm,高OO1=12 cm, 解得a=2,所以上底面边长为2 cm,下底面边长为a+10=12(cm). 答案:2 cm,12 cm 123456 6.已知一个几何体的三视图如图,求其表面积.