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个人收集整理 仅供参考学习奥林匹克数学的技巧(上篇)有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学,通常的情况是,在一般思维规律的指导下,灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。这当中,经常使用一些方法和原理(如探索法,构造法,反证法,数学归纳法,以及抽屉原理,极端原理,容斥原理),同时,也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。在2-1曾经说过:“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技,它既是使用数学技巧的技巧,又是创造数学技巧的技巧,更确切点说,这是一种数学创造力,一种高思维层次,高智力水平的艺术,一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。2-7-1 构造它的基本形式是:以已知条件为原料、以所求结论为方向,构造出一种新的数学形式,使得问题在这种形式下简捷解决。常见的有构造图形,构造方程,构造恒等式,构造函数,构造反例,构造抽屉,构造算法等。个人收集整理 勿做商业用途例2-127 一位棋手参加11周(77天)的集训,每天至少下一盘棋,每周至多下12盘棋,证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。个人收集整理 勿做商业用途证明:用表示这位棋手在第1天至第天(包括第天在内)所下的总盘数(),依题意 考虑154个数:又由,即154个数中,每一个取值是从1到153的自然数,因而必有两个数取值相等,由于时,故只能是满足 这表明,从天到天共下了21盘棋。这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序,并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”,其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。个人收集整理 勿做商业用途例 2-128 已知为正数且求表达式的最最小值。解:构造一个ABC,其中三边长分别为,则其面积为另方面故知,当且仅当C=90时,取值得最小值2,亦即时,取最小值2,如时,。2-7-2 映射它的基本形式是RMI原理。令R表示一组原像的关系结构(或原像系统),其中包含着待确定的原像,令表示一种映射,通过它的作用把原像结构R被映成映象关系结构R*,其中自然包含着未知原像的映象。如果有办法把确定下来,则通过反演即逆映射也就相应地把确定下来。取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型,构造发生函数等都体现了这种原理。个人收集整理 勿做商业用途建立对应来解题,也属于这一技巧。例2-129 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员比赛,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数为。个人收集整理 勿做商业用途解 设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为A1,A2,A7和B1,B2,B7。如果甲方获胜,设获胜的场数是,则而且 (*)容易证明以下两点:在甲方获生时,(i)不同的比赛过程对应着方程(*)的不同非负整数解;(ii)方程(*)的不同非负整数解对应着不同的比赛过程,例如,解(2,0,0,1,3,1,0)对应的比赛过程为:A1胜B1和B2,B3胜A1,A2和A3,A4胜B3后负于B4,A5胜B4,B5和B6但负于B7,最后A6胜B7结束比赛。个人收集整理 勿做商业用途故甲方获胜的不同的比赛过程总数是方程(*)的非负整数解的个数。解二 建立下面的对应;集合的任一个7-可重组合对应着一个比赛过程,且这种对应也是一个一一对应。例如前述的比赛过程对应的7-可重组合是所以甲方获胜的不同的比赛过程的总数就是集合的7-可重组合的个数。个人收集整理 勿做商业用途例2-130 设表示个元素中有个不动点的所有排列的种数。求证证明 设。对S的每个排列,将它对应向量,其中每个,当排列中第个元素不动时,否则为0。于是中所计数的任一排列所对应的向量都恰有个分量为1,所以个排列所对应的那些向量中取值为1的分量的总数为。个人收集整理 勿做商业用途另一方面,对于每个,使得第个元素不动的排列共有个,从而相应的维向量中,有个向量的第个分量为1。所以,所有向量的取值为1的分量总数,从而得到个人收集整理 勿做商业用途 例2-131 在圆周上给定个点,从中任选个点染成黑色。试证一定存在两个黑点,使得以它们为端点的两条弧之一的内部,恰好含有个给定的点。个人收集整理 勿做商业用途证明 若不然,从圆周上任何一个黑点出发,沿任何方向的第个点都是白点,因而,对于每一个黑点,都可得到两个相应的白点。这就定义了一个由所有黑点到白点的对应,因为每个黑点对应于两个白点,故共有个白点(包括重复计数)。又因每个白点至多是两个黑点的对应点,故至少有个不同的白点,这与共有个点矛盾,故知命题成立。个人收集整理 勿做商业用途2-7-3 递推如果前一件事与后一件事存在确定的关系,那么,就可以从某一(几)个初始条件出发逐步递推,得到任一时刻的结果,用递推的方法解题,与数学归纳法(但不用预知结论),无穷递降法相联系,关键是找出前号命题与后号命题之间的递推关系。个人收集整理 勿做商业用途用递推的方法计数时要抓好三个环节:(1)设某一过程为数列,求出初始值等,取值的个数由第二步递推的需要决定。(2)找出与,等之间的递推关系,即建立函数方程。(3)解函数方程例2-132 整数1,2,n的排列满足:每个数大于它之前的所有的数或者小于它之前的所有的数。试问有多少个这样的排列?个人收集整理 勿做商业用途解 通过建立递推关系来计算。设所求的个数为,则(1)对,如果排在第位,则它之后的个数完全确定,只能是,2,1。而它之前的个数,,,有种排法,令,得递推关系。个人收集整理 勿做商业用途 (2)由(1),(2)得 例2-133 设是正整数,表示用21矩形覆盖的方法数;表示由1和2组成的各项和为的数列的个数;且 ,证明个人收集整理 勿做商业用途证明 由的定义,容易得到又因为,且当时,类似地可证在时也有,从而和有相同的递推关系和相同的初始条件,所以。用无穷递降法求解也用到了这一技巧。2-7-4 区分当“数学黑箱”过于复杂时,可以分割为若干个小黑箱逐一破译,即把具有共同性质的部分分为一类,形成数学上很有特色的方法区分情况或分类,不会正确地分类就谈不上掌握数学。个人收集整理 勿做商业用途有时候,也可以把一个问题分阶段排成一些小目标系列,使得一旦证明了前面的情况,便可用来证明后面的情况,称为爬坡式程序。比如,解柯西函数方程就是将整数的情况归结为自然数的情况来解决,再将有理数的情况归结为整数的情况来解决,最后是实数的情况归结为有理数的情况来解决。的处理也体现了爬坡式的推理(例2-47)。个人收集整理 勿做商业用途区分情况不仅分化了问题的难度,而且分类标准本身又附加了一个已知条件,所以,每一类子问题的解决都大大降低了难度。个人收集整理 勿做商业用途例2-134 设凸四边形ABCD的面积为1,求证在它的边上(包括顶点)或内部可以找出4个点,使得以其中任意三点为顶点所构成的4个三角形的面积均大于1/4。个人收集整理 勿做商业用途证明 作二级分类1当四边形ABCD为平行四边形时,A,B,C,D即为所求,命题成立。2当四边形ABCD不是平行四边形时,则至少有一组对边不平行,设AD与BC不平行,且直线AD与直线BC相交于E,又设D到AB的距离不超过C到AB的距离,过D作AB的平行线交BC于F,然后分两种情况讨论。个人收集整理 勿做商业用途(1)如图2-52,此时可作EAB的中位线PQ、QG,则 即A、G、Q、P为所求。(2)如图2-53,此时可在CD与CF上分别取P、Q,使。过Q9或P)作QGAP交AB于G。为证,连AP交BE于M,过A作AHBC交CD延长线于H。有个人收集整理 勿做商业用途得 故A、P、Q、G为所求,这实际上已证明了一个更强的命题:面积为1的凸四边形一定能嵌入一个面积大于1/2的平行四边形。个人收集整理 勿做商业用途例2-135 对内角分别为为30、60、90的三角形的顶点和各边四等分点共12个点,染以红色或蓝色,则必存在同色的三点,以它们为顶点的三角形与原三角形相似。个人收集整理 勿做商业用途证明 设ABC中,C=90,B=60,C=30,点A1,A2,A3;B1,B2,B3;C1,C2,C3分别是边AB、BC、CA的四等分点,下面作三级分类。个人收集整理 勿做商业用途1点A、B、C同色时,结论显然成立。2点A、B、C异色时,记A为红色,写作A(红),其余各点染色记号类同。(1)A(红),B(红),C(蓝)时,由ABCB1BAC3B1CC3AA3A2A3B1AA2C2C2B2CA2AB2知,若结论不成立,则有个人收集整理 勿做商业用途B1(蓝)C3(红)A3(蓝)A2(红)C2(蓝)B2(红)A(蓝)。这与A(红)矛盾。(2)A(红),B(蓝),C(红)时,由ABCB1ACA3BB1AC3A3C2C3B1C2B2CA2BB2AA2C2知,若结论不成立,则有B1(蓝)A3(红)C3(蓝)C2(红)B2(蓝)A2(红)A(蓝)这与A(红)矛盾。个人收集整理 勿做商业用途(3)A(红),B(蓝),C(蓝)时,又分两种情况:(3)1当B1(红)时,由ABCB2B1AB2C2CAA2C2A2BB2知,若结论不成立,则有B2(蓝)C2(红)A2(蓝)B(红)。这与B(蓝)矛盾。图(2-56)个人收集整理 勿做商业用途(3)2当B1(蓝)时,由ABCC3B1CC3AA3A3BB1知,若结论不成立,则有C3(红)A3(蓝)B(红)与B(蓝)矛盾。(图2-57)2-7-5 染色染色是分类的直观表现,在数学竞赛中有大批以染色面目出现的问题,其特点是知识点少,逻辑性强,技巧性强;同时,染色作为一种解题手段也在数学竞赛中广泛使用。下面是一些熟知的结果。个人收集整理 勿做商业用途1在(点)二染色的直线上存在相距1或2的同色两点。2在(点)二染色的直线上存在成等差数列的同色三点。3在(点)二染色的平面上存在边长为1或的单色正三角形(三个顶点同色的三角形)。4设T1,T2是两个三角形,T1有一边长1,T2一边长。若将平面作(点)二染色,则恒可找到一个全等于T1或T2的单色三角形。个人收集整理 勿做商业用途5在(点)三染色的平面上,必有相距为1的两点同色。6在(点)三染色的平面上,必存在一个斜边为1的直角三角形,它的三个顶点是全同色的或是全不同色的。7在(边)染色的六阶完全图中必有单三角形(三边同色)。8在(边)染色的六阶完全图中至少有两个单色三角形。例2-136 有一个37棋盘。用黑、白两种颜色去染棋盘上的方格,每个方格只染一种颜色。证明不论怎样染色,棋盘上的方格组成的矩形中总有这样的矩形,其边与棋盘相应的边平行,而4个角上的方格颜色相同。个人收集整理 勿做商业用途证明 称满足条件的矩形为单色矩形。由于棋盘上的37=21个方格只染两种颜色,必有11个同色,不妨设同为黑色。现设第列上有个黑色方格,一方面,总黑格数为;另一方面,在第列上首尾两端都是黑格的矩形有个,总计个人收集整理 勿做商业用途若题中的结论不成立,则上述个矩形两两不同,将它们投影到第一列,那么第1列就存在t个首尾两端都是黑格的矩形,但第1列最多有个这样的矩形,有矛盾,故命题成立。个人收集整理 勿
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