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分数阶傅立叶变换 (Fractional Fourier Fransform) 简介 n19291980 早期未被人们重视的研究。 n1980年,V.Namias 从特征值和特征函数 的角度提出了分数阶傅立叶变换的概念 。定义为传统傅立叶变换的分数幂形式 。 n1994年, L.B.Ameida将分数阶傅立叶变 换解释为时频面上的坐标轴旋转。 主要研究方向和成果 nFRFT的基本性质 nFRFT与其他时频分析工具的关系 nFRFT的光学实现技术和应用 nFRFT的数值计算与快速算法 nFRFT在信号处理中的应用 n高维分数阶傅立叶变换的研究 FRFT的一般研究思路: 1.将傅立叶变换的应用直接推广到FRFT。 传统的傅立叶变换是将信号在一组正交完 备的正弦基上展开,所以正弦信号的傅立叶变 换是一个函数。 分数阶傅立叶变换是将信号在一组正交的 chirp信号上展开,则一个chirp信号的某一阶 次的FRFT也是一个函数。 FRFT的一般研究思路: n单分量、多分量Chirp信号的检测和参数 估计。 n雷达信号的目标检测和识别。 nSAR和ISAR成像。 n运动目标检测和识别。 n宽带干扰抑制。 FRFT的一般研究思路: 2.将FRFT视为时频面上的旋转算子 信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一 个旋转。 可用于信号间的分离,噪声抑制。这是分 数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进 一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概 念。 可以应用于多路复用技术。 FRFT的一般研究思路: 3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短 时傅立叶变换和Radon_Wigner变换的关系。利 用已有的研究成果研究分数阶傅立叶变换的应 用。 FRFT的一般研究思路: 例如:分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的 关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在 该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶 变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。 分数阶傅立叶变换的定义: 讨论: n变换核的性质: 讨论: n变换的性质: 性质4的证明: FRFT的其他定义: n特征函数和特征值(V.Namias,1980) 计算: n分数阶傅立叶变换定义3: t u v 分数阶傅立叶变换的性质: n线性性: n逆: 分数阶傅立叶变换的性质: n可交换性: n可结合性: 分数阶傅立叶变换的性质: n特征值与特征函数: nParseval准则: 分数阶傅立叶变换的性质: n与Wigner分布的关系: 分数阶傅立叶变换的运算性质 分数阶傅立叶变换的运算性质 : 分数阶傅立叶变换的运算性质: 例: 例: 分数阶傅立叶变换的运算性质: 常见信号的分数阶傅立叶变换 常见信号的分数阶傅立叶变换 常见信号的分数阶傅立叶变换 常见信号的分数阶傅立叶变换 常见信号的分数阶傅立叶变换 常见信号的分数阶傅立叶变换 分数阶傅立叶变换的不确定性 原理: 例:方波的分数阶傅立叶变换 分数阶卷积: n傅立叶变换卷积定理成立的原因: 1.线性调频信 号相乘 2.变尺度傅立叶 变换 3.线性调频 信号相乘 分数阶卷积的定义: 分数阶卷积的定义: 定理: 思考题: n两个函数的乘积的分数阶傅立叶变换有 什么特点? n两个函数相关的分数阶傅立叶变换应该 如何定义?有什么特点? 离散分数阶傅立叶变换的计算 nFRFT的离散化问题 离散分数阶傅立叶变换的计算 n目前DFRFT的四种离散化算法 离散分数阶傅立叶变换的计算 2.分解方法: 时间和频率的无量纲化: 由于时域和频域采用不同的量纲, 我们需要对时间和频率的无量纲化处理 。
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