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1,第五章 弯曲内力,第五章 弯曲内力,材料力学,2,51 工程实例、基本概念,一、实例,第五章 弯曲内力,起重机大梁,3,4,51 工程实例、基本概念,火车的轮轴:,第五章 弯曲内力,5,楼房的横梁:,阳台的挑梁:,第五章 弯曲内力,6,第五章 弯曲内力,7,第五章 弯曲内力,8,二、梁的概念:主要产生弯曲变形的杆。,三、对称(平面)弯曲的概念:,第五章 弯曲内力,9,受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线,且都在 梁的纵向对称平面内。,变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。,第五章 弯曲内力,10,平面弯曲,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,11,(一)、简化的原则:便于计算,且符合实际要求。,(二)、梁的简化:以梁的轴线代替梁本身。,(三)、荷载的简化:,1、集中力荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。,2、分布力荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。,3、集中力偶(分布力偶)作用于杆的纵向对称面内的力偶。,(四)、支座的简化:,1、固定端有三个约束反力。,五、梁、荷载及支座的简化,第五章 弯曲内力,12,2、固定铰支座有二个约束反力。,3、可动铰支座有一个约束反力。,FAY,第五章 弯曲内力,13,(五)、梁的三种基本形式:,1、悬臂梁:,2、简支梁:,3、外伸梁:,(L称为梁的跨长),第五章 弯曲内力,14,在竖直荷载作用下,图a,b,c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出,称为静定梁。,(六)、静定梁和超静定梁,图d,e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定,称为超静定梁(静不定梁)。,第五章 弯曲内力,15,52 梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图,一、梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment),举例已知:如图,F,a,l。 求:距A端x处截面上内力。,解:求外力,FAX =0 以后可省略不求,第五章 弯曲内力,16,求内力(截面法), 弯曲构件内力,1. 弯矩:M 构件受弯时,横截面上存在垂直于截面的内力偶矩(弯矩)。,第五章 弯曲内力,17,2. 剪力:Fs 构件受弯时,横截面上存在平行于截面的内力(剪力)。,二、内力的正负规定:,剪力Fs:在保留段内任取一点,如果剪力的方向对其点之矩为 顺时针的,则此剪力规定为正值,反之为负值。,弯矩M:使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩;反之为负值。,M(+),M(+),M(),M(),第五章 弯曲内力,18,三、注意的问题,1、在截开面上设正的内力方向。,2、在截开前不能将外力平移或简化。,3、左上右下剪力为正,左顺右逆弯矩为正。,M(+),M(+),第五章 弯曲内力,19,例1:求图(a)所示梁1-1、2-2截面处的内力。,Fs1,A,M1,图(b),(2)截面法求内力。 1-1截面处截取的分离体 如图(b)示。,解(1)确定支座反力(可省略),第五章 弯曲内力,20,2-2截面处截取的分离体如图(c),图(a),Fs2,B,M2,图(c),第五章 弯曲内力,21,例2:求图所示梁1-1、2-2截面处的内力。,解:(1)确定支座反力,(2)简易法求内力,1-1截面取左侧考虑:,2-2截面取右侧考虑:,第五章 弯曲内力,22,五、剪力方程、弯矩方程:把剪力、弯矩表达为截面位置x的 函数式。 Fs=Fs(x)剪力方程 M=M(x) 弯矩方程,第五章 弯曲内力,23,六、剪力图和弯矩图:剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。,七、剪力图、弯矩图绘制的步骤:同轴力图。,1、建立直角坐标系,,2、取比例尺,,3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方,弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。,第五章 弯曲内力,24,八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图,步骤:1、利用静力方程确定支座反力。,2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。,3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。,4、确定最大的剪力值、弯矩值。,第五章 弯曲内力,25,F,解:求支反力,写出内力方程,根据方程画内力图,例1 求下列图示梁的内力方程并画出内力图。,第五章 弯曲内力,26,解:1、支反力,2、写出内力方程,AC段:,BC段:,3、根据方程画内力图,例2,第五章 弯曲内力,27,讨论C截面剪力图的突变值。,集中力作用点处剪力图有突变,突变值的大小等于集中力的大小。,这是由于集中力实际上是将 作用在梁上很短长度x范围内的分布力加以简化所致。若将分布力看作在x范围内是均匀的(图a),则剪力图在x范围内是连续变化的斜直线(图b)。 从而也就可知,要问集中力作用处梁的横截面上的剪力值是没有意义的。,第五章 弯曲内力,28,解:1、支反力,2、写出内力方程,3、根据方程画内力图,注意:集中力偶作用点处弯矩图有突变,突变值的大小等于集中力偶的大小。也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。,例3,第五章 弯曲内力,29,解:1、支反力,2、写出内力方程,例4,第五章 弯曲内力,30,3、根据方程画内力图,第五章 弯曲内力,31,解:求支反力,内力方程,根据方程画内力图,x,例5,第五章 弯曲内力,32,53 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用,一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,1、支反力:,2、内力方程,3、讨论:,第五章 弯曲内力,33,对dx 段进行平衡分析,有:,q(x),q(x),M(x)+d M(x),Fs(x)+d Fs(x),Fs(x),M(x),dx,A,y,剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。,第五章 弯曲内力,34,q(x),M(x)+d M(x),Fs(x)+d Fs(x),Fs(x),M(x),dx,A,y,弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。,第五章 弯曲内力,35,二、微分关系的应用,2、分布力q(x)=常数时剪力图为一条斜直线; 弯矩图为一条二次曲线。,1、分布力q(x)=0时剪力图为一条水平线; 弯矩图为一条斜直线。,(1)当分布力的方向向上时剪力图为斜向上的斜直线; 弯矩图为上凹的二次曲线。,第五章 弯曲内力,36,4、集中力偶处剪力图无变化;弯矩图有突变, 突变值的大小等于集中力偶的大小。,5、弯矩极值处剪力为零的截面、集中力作用的截面、 集中力偶作用的截面。,3、集中力处剪力图有突变,突变值等于集中力的大小; 弯矩图有折角。,(2)当分布力的方向向下时剪力图为斜向下的斜直线; 弯矩图为下凹的二次曲线。,第五章 弯曲内力,37,外力,无分布荷载段,均布载荷段,集中力,集中力偶,Fs图特征,M图特征,水平直线,斜直线,自左向右突变,无变化,斜直线,曲线,自左向右折角,自左向右突变,三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图,第五章 弯曲内力,38,例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,控制点:端点、分段点(外力变化点)和驻点(极值点)等。,四、简易法作内力图法(利用微分规律): 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。,基本步骤:1、确定支座反力; 2、利用微分规律判断梁各段内力图的形状; 3、确定控制点内力的数值大小及正负; 4、描点画内力图。,第五章 弯曲内力,39,左端点:剪力图有突变,突变值 等于集中力的大小。,右端点:弯矩图有突变,突变值 等于集中力的大小。,解:1、确定支反力(可省略),左侧段:剪力图为一条水平线; 弯矩图为一条斜直线,右侧段:剪力图为斜向上的斜直线; 弯矩图为上凹的二次曲线。,2、画内力图,第五章 弯曲内力,40,解:1、支反力,2、画内力图,AC段:剪力图为一条水平线; 弯矩图为一条斜直线,BD段:剪力图为斜向下的斜直线; 弯矩图为下凹的二次曲线。,CD段:剪力图为零; 弯矩图为一条水平线。,A、C、B 截面剪力图有突变; 突变值的大小为其集中力的值。,第五章 弯曲内力,41,解:1、支反力,2、画内力图,CA段:剪力图为一条水平线; 弯矩图为一条斜直线,AB段:剪力图为斜向下的斜直线; 弯矩图为下凹的二次曲线。,C、A、B 截面剪力图有突变;大小为其集中力的值。A截面弯矩图有突变;大小为其集中力偶的值。Fs=0处M有极值,第五章 弯曲内力,42,解:1、支反力,Fs=0处M有极值,简易公式,第五章 弯曲内力,43,q,a,a,a,解:求支反力,M 的驻点:,第五章 弯曲内力,44,例 改内力图之错。,a,2a,a,q,qa2,A,B,Fs,x,x,M,qa/4,qa/4,3qa/4,7qa/4,qa2/4,3qa2/2,FAy,FBy,第五章 弯曲内力,45,54 按叠加原理作弯矩图,二、叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。,一、前提条件:小变形、梁的跨长改变忽略不计;所求参数(内 力、应力、位移)必然与荷载满足线性关系。即 在弹性限度内满足虎克定律。,三、步骤:1、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用; 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图; 3、将其相应的纵坐标叠加即可(注意:不是图 形的简单拼凑)。,第五章 弯曲内力,46,例按叠加原理作弯矩图(AB=L,力F作用在梁AB的中点处)。,=,第五章 弯曲内力,47,例 绘制下列图示梁的弯矩图。,M1,第五章 弯曲内力,48,第五章 弯曲内力,49,55 平面刚架和曲杆的内力图,一、平面刚架,平面刚架:轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点:刚架各杆的内力有:Fs、M、FN。,1、刚架:由刚性节点联成的框架,2、节点:两杆之间的交点。,3、刚性节点:两杆之间联接处的夹角不变的节点(联接处不 能有转动)。用填角表示,以与铰支节点区别。,第五章 弯曲内力,50,作刚架内力图的方法和步骤与梁相同,但因刚架是由不同取向的杆件组成,习惯上按下列约定: 弯矩图,画在各杆的受压一侧,不注明正、负号; 剪力图及轴力图,可画在刚架轴线的任一侧(通常正值画在刚架外侧),但须注明正负号; 剪力和轴力的正负号仍与前述规定相同。,第五章 弯曲内力,51,例题 试作图a所示刚架的内力图(即作出组成刚架的各杆的内力图)。,(a),第五章 弯曲内力,52,各杆的内力方程为:,解:此刚架的C点为自由端,故求内力时如取包含自由端的那部分分离体作为研究对象,则可不求固定端A处的约束力。,(a),第五章 弯曲内力,53,可作出图示刚架的内力图。,FN 图,F2,Fs 图,F1,F1a,M 图,F1a+ F2 l,F1,F1a,第五章 弯曲内力,54,本例中,刚性接头B处无外力偶作用,杆AB的终端截面B-和杆BC的始端截面B+的弯矩数值相等。因此,作为校核可取该刚架的结点B为分离体,考察结点是否满足平衡条件。,(a),第五章 弯曲内力,55,. 平面曲杆,平面曲杆内力图规定: 弯矩图:弯矩规定使轴线曲率增加的弯矩规定为正值;反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向,且在曲杆受压的一侧。 剪力图及轴力图:与平面刚架相同。,当荷载作用于曲杆所在平面内时,其横截面上的内力 除剪
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