第九章 拉普拉斯变换 1. Laplace变换的概念 2. Laplace变换的性质 4. Laplace变换的简单应用 9.1 Laplace变换 3 Laplace逆变换 一、 Laplace变换的概念 (1) 解： 所以， 求函数 例2. 解 ： 这个积分当Re(s-k)0时收敛，而且 例3 解 ： 若函数f(t)满足下列条件： Laplace变换的存在定理 在半平面Re(s)C上一定存在，并且F(s)在Re(s)C 内是解析函数。 则f(t)的Laplace变换 二、 Laplace变换的性质 1. 线性性质 若为常数, 则 例1. 同理可得 3.微分性质 (1) 象原函数的微分性质 推论 一般地，有 解 ： 由微分性质有： 即 注意到 所以 例3. 求解微分方程 解：对方程两端取Laplace变换，并利用线性性质 及微分性质，有 其中， 代入初值，即得 (2) 象函数的微分性质 同理可得： 解 ： 由象函数的微分性质可知 解 ： 4.积分性质 象函数的积分性质： 或 一般地，有 解： 由象函数积分性质，有 再由积分性质，可得 4. 位移性质 解：利用位移性质及公式： 5. 延迟性质 t 由延迟性质，有 解： 由于 解：由于 所以 周期函数的拉普拉斯变换 是周期为的周期函数,即可以证明:若 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有 6 .卷积性质 卷积的概念 解：根据定义，有 卷积具有以下性质 2. 卷积定理 或 则有 解： 所以 解： 根据位移性质，有 拉普拉斯逆变换 右端的积分称为拉氏反演积分. 它是一个复变函数的积分,但计算 比较麻烦. 利用留数定理求拉氏逆变换 三、Laplace变换的简单应用 求解线性常微分方程的步骤： (1) 对微分方程取Laplace变换转化为代数方程; (2) 解代数方程得到象函数; (3) 对象函数取Laplace逆变换，得象原函数，即 微分方程的解。 对方程两端取Laplace变换，则 解: 利用初始条件，得 取Laplace逆变换，得 为所求特解。 解： 代入初始条件，得： 取Laplace逆变换，得 例3. 求解微分方程组： 解： 求得 取Laplace逆变换，得原方程组的解为： 解： 所以原方程为 令 因 所以，对方程两边取Laplace变换，并由卷积定理得 取Laplace逆变换，得原方程的解为： 练习 ： 本 章 小 结