高等数学1课程教学大纲一、课程基本情况课程名称：高等数学。课程英文名称：Higher Mathematics 1。 课程编号：BL11001-1，2。课程总学时：162学时。课程学分：9学分。 课程分类：必修，第1学期考试课；第2学期考查课。 开课学期：第1学期（72学时），第2学期（90学时）。 开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学、计算机科学与技术、网络工程、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。先修课程：无。 后续课程：概率统计、复变函数、积分变换、大学物理等基础课和各专业相应专业课。二、课程的性质、地位、作用和任务本课程是四年制理工类各专业的一门重要基础理论课。在专业课程结构体系中也是一门不可缺少的重要课程。通过本课程的学习，使学生受到数学分析方法和运用这些方法解决几何、物理学、力学、电工学、电子学等实际问题的初步训练，为后继课和进一步扩大数学知识打下必要的基础。通过本课程的教学，主要使学生获得函数的极限与连续、微分学及函数的积分学知识及其应用；空间解析几何，多元函数微积分，曲线曲面积分，级数敛散性及函数可以展开成幂级数的判定问题等方面的基本知识，基本理论，基本运算技能。通过教学，要逐步培养学生具有较强的计算能力、抽象思维能力和逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力，并逐步培养自学能力。三、主要内容、教学基本要求、重点和难点本课程主要内容包括：一元函数与初等函数；函数与数列极限的概念与计算、函数的连续性；导数的概念与求导法则、微分的概念、计算；一元函数微分学的应用；不定积分的概念与计算；定积分的概念与计算；定积分的应用；常微分方程的概念以及求解一阶、二阶常微分方程等；空间解析几何；多元函数微分学及其应用，二重积分、三重积分概念及其计算，曲线积分及其计算，曲面积分概念及其计算；级数及其收敛性。教学内容中带（*）号的部分不同专业可选用。具体教学内容、教学基本要求、重点和难点为：（一）函数、极限、连续教学内容：函数：实数与数轴，区间与邻域，函数的定义与定义域，函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性，反函数及其图形，基本初等函数，复合函数，初等函数。极限：数列极限的“-N”、函数极限的“-”与“-x”定义，函数的左右极限，无穷小与无穷大的定义，无穷小与函数极限的关系，极限的运算法则，两个重要极限，无穷小的比较，等价无穷小。函数的连续性：函数连续的定义，间断点与分类，连续函数的和、差、积、商的连续性，连续函数的反函数的连续性（不证），连续函数的复合函数的连续性（不证），基本初等函数和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的最大值、最小值定理及介值定理。教学基本要求：对于中学学过的有关函数的内容，只需加以复习提高不作详细讲解，掌握极限“-N”的定义，“-”与“-x”的定义，不定式求极限的训练主要放在罗必达法则中进行，这里不作过多、过难的练习。基本初等函数连续性可以不全证，振荡间断点可不讲。对于连续函数在闭区间上的性质，只要求几何说明。对于无穷小与无穷大的关系及关于无穷小定理只叙述不证明。教学重点：函数的概念，极限的概念，无穷小，极限的四则运算，函数的连续性。教学难点：复合函数的分解，数列极限的“-N”定义，函数极限的“-”、“-x”定义，函数在一点的连续定义。（二）导数和微分教学内容：导数的定义与几何意义，平面曲线的切线与法线，函数可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，反函数的导数，隐函数求导法，对数求导法，由参数方程所给定的函数的导数。微分的定义与几何意义，微分形式的不变性。教学基本要求：正确理解导数作为变化率的概念，微分是函数增量的线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想。熟练掌握初等函数的求导法。明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实。教学重点：导数的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的概念。教学难点：导数作为变化率的概念，复合函数导数公式的运用，一阶微分形式的不变性。（三）中值定理与导数的应用教学内容：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，罗必达法则，带有拉格朗日余项的泰勒公式。函数增减性的判别法，函数的极值及其求法，最大值、最小值问题。函数图形的凹凸性及其判别法，拐点及其求法，函数图形的描绘举例。弧微分的计算及其计算公式，曲率及其计算公式。教学基本要求：三个中值定理采用分析证明或几何说明，可灵活掌握。对于罗必达法则，只证明时的型，对于泰勒定理只要求了解条件与结论。函数取极值的必要条件和充分条件、函数的凹凸性可作几何说明。教学重点：拉格朗日中值定理，罗必达法则，泰勒公式。函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值、最小值问题。教学难点：拉格朗日中值定理的证明，泰勒公式，最大值、最小值的应用问题。（四）不定积分教学内容：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式与简单无理函数的积分举例。积分表的使用法。教学基本要求：在讲有理函数积分时，对于化有理分式为部分分式，只提结论而不加证明，但需通过例题把方法讲清楚，递推公式只作介绍。教学重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。教学难点：各种积分法。（五）定积分教学内容：定积分的定义，定积分存在定理的叙述，定积分的性质与中值定理，定积分作为变上限函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式，定积分的换元积分法与分部积分法，定积分的近似积分公式（简介），两种反常积分的定义。教学基本要求：正确理解定积分的概念及它与不定积分的联系。牛顿莱布尼兹公式，换元积分法及分部积分法来计算定积分。教学重点：定积分的概念，定积分的中值定理，定积分作为变上限函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式，换元积分法。教学难点：定积分概念的理解及其利用它求函数的极限法。（六）定积分的应用教学内容：在几何学中的应用：面积，弧长，已知平行截面面积求体积，旋转体的体积；在物理学中的应用举例：功，水压力；平均值与均方根。教学基本要求：讲清微元法，在物理、力学中的应用可选几个典例加以介绍。教学重点：初步掌握应用定积分解决实际问题的一般方法培养学生运用微元分析法建立积分表达式的能力。计算平面图形的面积，立体的体积及曲线的弧长。教学难点：定积分在物理、力学中的应用。（七）常微分方程教学内容：微分方程的一般定义，阶、解、通解、初始条件、特解。变量可分离的微分方程，齐次微分方程，一阶线性微分方程，三种特殊类型的高阶微分方程，线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性微分方程，欧拉方程（*）。教学基本要求：线性微分方程解结构包括齐次与非齐次两种情况，对于非齐次方程要讲明白自由项为两项之和时，其特解等于自由项为各项时的特解之和。关于二阶常系数非齐次线性微分方程，包括自由项为指数函数、正余弦函数、多项式以及它们的乘积几种特解的求法。微分方程的应用题，可穿插在相关内容中讲。教学重点：微分方程的概念、解、通解、特解、变量可分离的微分方程，一阶线性微分方程，二阶线性常系数微分方程。教学难点：微分方程的应用。（八）向量代数与空间解析几何教学内容：向量代数：向量概念及线性运算，投影定理，空间直角坐标系，向量的分解与向量的坐标，向量的模，单位向量，方向余弦与方向数，向量的数量积与向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：平面方程，直线方程，夹角（平面与平面、平面与直线、直线与直线），平行与垂直的条件（平面与平面，平面与直线、直线与直线）。曲面与空间曲线：曲面方程的概念，球面方程，母线平行于坐标轴的柱面方程，空间曲线作为两曲面的交线。空间曲线的参数方程，空间曲线在坐标面上的投影。二次曲面：旋转曲面，椭球面，抛物面，双曲面，二次锥面。教学基本要求：要求熟悉标准二次曲面的方程与图形及它所围的简单立体。二次曲面可只讲顶点在原点且以坐标轴为轴的圆锥，关于旋转曲面，只讲以坐标轴为旋转轴的旋转曲面。教学重点：向量概念，向量坐标，向量的数量积、向量积，平面的点法式方程，直线的对称方程，曲面方程的概念，一些具体的二次曲面，空间曲线的参数方程。教学难点：向量的向量积，空间曲线在坐标面上的投影，用截痕法讨论二次曲面。空间解析几何应以向量为主要工具，注意培养学生对向量的运用和空间图形的想象能力。要求熟悉标准二次曲面的方程与图形，标准二次曲面以及它们所围的简单立体。二次曲面可只讲顶点在原点且以坐标轴为轴的圆锥，关于旋转曲面只讲以坐标轴为旋转轴的旋转曲面。（九）多元函数的微分法及其应用教学内容：多元函数：多元函数的定义，二元函数的几何表示，二元函数的极限与连续性，有界闭区域上连续函数性质的叙述。偏导数与全微分：偏导数的定义，二元函数偏导数的几何意义，高阶偏导数，混合偏导数可以交换求导次序的条件（叙述），全微分的定义，全微分存在的充分条件（叙述），多元复合函数的求导法则，全导数，隐函数的求导公式。偏导数的应用：空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线，方向导数与梯度，多元函数的极值及其求法。教学基本要求：全微分存在定理，不证明，结合例子说明，全微分的几何意义可用几何说明，复合函数的微分定理叙而不证，混合偏导数相等条件也叙而不证。介绍梯度及场的概念。教学重点：多元函数的概念，偏导数与全微分概念，多元复合函数的求导法则。教学难点：全微分定义的引入，多元复合函数的求导法，曲面的切平面方程的推导。（十）重积分教学内容：二重积分：二重积分的定义，二重积分存在性，二重积分的性质，二重积分的计算方法（包括极坐标），二重积分在几何中的应用（立体体积、曲面面积），二重积分在物理学中的应用举例。三重积分：三重积分的定义及其性质，三重积分的计算法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标），三重积分应用举例。教学基本要求：二重积分化为累次积分的公式，以及二重积分的变量从直角坐标化为极坐标的变换公式，都只作几何说明，不作公式证明，三重积分与此类同，重积分的应用着重于运用微元分析法，选几个例子加以说明。教学重点：二、三重积分计算中的定限问题。教学难点：二、三重积分计算中的积分变元的坐标变换问题。（十一）曲线积分与曲面积分教学内容：曲线积分： 曲线积分的定义、性质、计算法，格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件，二元函数的全微分求积，全微分方程的条件与解法（*）,曲线积分的应用举例。曲面积分：曲面积分的定义、性质、计算法，曲面积分的应用举例，高斯公式（叙述），通量与散度，斯托克斯公式（叙述），环流量与旋度。教学基本要求：曲线积分要讲平面与空间曲线两种情况，曲面积分可依积分域为z=f（x，y）的情况为例详讲，注意讲清面积元的法线方向，介绍曲面的单侧与双侧问题。全微分的条件定理不加证明而结合例题讲其应用。高斯公式与斯托克斯公式叙而不证。通量与散度、环流量与旋度介绍概念及应用。教学重点：曲线积分的概念及计算法，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，曲面积分的概念与计算法，高斯公式，斯托克斯公式。教学难点：曲面积分的计算法，斯托克斯公式。（十二）无穷级数教学内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。函数项级数与幂级数：函数项级数的一般概念，幂级数的一般概念，阿贝尔定理，幂级数的收敛半径和收敛区间，幂级数的四则运算，和函数的连续性，逐项微分与逐项积分，泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数ex、sinx、cosx、ln(1+x)、(1+x)m等的幂级数展开式。傅里叶