第 9 讲函数模型及其应用一、填空题1某商场在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：如一次购物不超过 200 元，不给予折扣；如一次购物超过 200 元而不超过 500 元，按标准价给予九折优惠；如一次购物超过 500 元，其中 500 元的部分给予九折优惠，超过 500 元的剩余部分给予八五折优惠某人两次去购物，分别付款 176 元和 432 元如果他只去一次购买同样的商品，则他应该付款为_元解析 设购物应付款 x 元，实际付款 y 元，则由题意知：yError!，那么该人两次 实际购物应付款分别为 x1176 元，x24320.9 480 元， 则 x1x 2656 元，如果他只去一次，则应该付款y0.85 65625582.6 元答案 582.62从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升，然后用水加满，再倒出 1 升，再用水加满这样继续下去，则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为 _解析所倒次数 1 次，则 y19；所倒次数 2 次， 则 y19 ，所倒次1920数 x 次，则 y19 x1 20 x.(1920) (1920)答案y20 x(1920)3为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 加 密 发 送 解 密 已知加密为 ya x2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文 “3”，若接受方接到密文为 “14”，则原发的明文为_解析依题意 ya x2 中，当 x3 时， y6，故 6a 32，解得 a2.所以加密为 y2 x2，因此，当 y14 时，由 142 x2，解得 x4.答案44某种储蓄按复利计算利息，若本金为 a 元，每期利率为 r，存期是 x，本利和( 本金加利息) 为 y 元，则本利和 y 随存期 x 变化的函数关系式为_解析已知本金为 a 元，利率为 r，则1 期后本利和为 yaara(1r)，2 期后本利和为 ya(1 r)a(1 r )ra(1 r) 2，3 期后本利和为 ya(1 r)3，x 期后本利和 为 ya(1 r)x，xN*.答案ya(1r) x，x N *5. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y 应分别为_解析由三角形相似，得 ，得 x (24y)，所以 Sxy (y12)24 y24 8 x20 54 542180，所以当 y12 时， Smax180，此时 x15.答案15,126将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线 yae nt.若 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了 m 分钟后甲桶中的水只有 升，则 m 的值为_a8解析 令 aae nt，即 e nt，因为 e 5n，故 e 15n，比较知18 18 12 18t15，m15510.答案 107小王每月除去所有日常开支，大约结余 a 元小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行 a 元，存期 1 年(存 12 次)，到期取出本和息假设一年期零存整取的月利率为 r，每期存款按单利计息那么，小王的存款到期利息为_元解析 依题意得，小王存款到期利息为12ar11ar 10ar 3ar2ar ar ar78ar 元1212 12答案 78ar8一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，此外每生产 1 件该产品还需要增加投资 1 万元，年产量为 x(xN *)件当 x20 时，年销售总收入为(33x x 2)万元；当 x20 时，年销售总收入为 260 万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y 万元，则 y(万元) 与 x(件)的函数关系式为_，该工厂的年产量为_件时，所得年利润最大(年利润年销售总收入一年总投资)解析 本题考查了函数的实际应用当 x20 时， y(33xx 2)x100 x 232x 100；当 x20 时，y260100x160x .故yError!( xN* )当 020 时，160x ，即 f(x) 不恒成立，115 105 x5故函数模型 y 2 不符合公司要求x150(2)对于函数模型 yg(x) ，10x 3ax 2即 g(x)10 ，3a 20x 2当 3a200 ，即 a 时递增，203为使 g(x)9 对于 x10,1 000恒成立，即要 g(1 000)9,3a181 000，即 a ，来源: 学科网 ZXXK9823为使 g(x) 对于 x10,1 000恒成立，x5即要 5，即 x248x15a0 恒成立，10x 3ax 2即(x24) 215a5760(x10,1 000) 恒成立，又 2410,1 000，故只需 15a5760 即可，所以 a .1925综上，a ，故最小的正整数 a 的值为 39.192513我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的某市用水收费标准是：水费基本费超额费定额损耗费，且有如下三条规定：若每月用水量不超过最低限量 m 立方米时，只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元；若每月用水量超过 m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付 n 元的超额费；每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元(1)求每户每月水费 y(元) 与月用水量 x(立方米)的函数关系式；(2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份 用水量(立方米) 水费 (元)一 4 17二 5 23三 2.5 11试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a 的值解：(1)依题意，得yError!其中 0a5.(2)0a5，99a14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元，故用水量 4 立方米， 5 立方米都大于最低限量 m 立方米将Error!和Error!分别代入 (*)得Error!两式相减，得 n6.代入 179n(4m) a 得 a 6m16.又三月份用水量为 2.5 立方米，若 m2.5，将Error!代入 (*)，得 a6m13，这与 a6 m16 矛盾m2.5，即该家庭三月份用水量 2.5 立方米没有超过最低限量，将Error!代入(*) 得 119a.由Error!解得 Error!所以，该家庭今年一、二月份用水量超 过最低限量，三月份用水量没有超 过最低限量，m3， n6，a2.14为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元该建筑物每年的能源消耗费用 C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x) (0x10)，若不建隔热层，每年能源k3x 5消耗费用为 8 万元设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和(1)求 k 的值及 f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为 C(x) ，k3x 5再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x) .403x 5而建造费用为 C1(x)6x .最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C 1(x)20 6x 6x(0x10) 403x 5 8003x 5(2)f(x) 2 1022 1070(当且仅当4003x 5 3x 5 4003x5，即 x5 时， “”成立)，所以当 x5 时，f(x) minf (5)70.4003x 5故隔热层修建 5 cm 厚时，总费用达到最小值 70 万元.