从 2019 年高考数学题型分析 探究如何提高考生的解题能力 2019.112019.11 一、18、19 年的高考数学全国试卷更加 强调了知识的基础性、综合性、突出数学 学科的特色、突出应用性和创新性，仍然 坚持能力立意的命题原则，着重考查考生 的理性思维能力、考查数学的核心素养， 考查综合运用数学思维方法分析问题、解 决问题的能力，逐步体现数学的科学价 值、应用价值和理性价值，激发学生学习 数学的热情。整个试卷加强了对考生的图 形的直观想象、识别能力、处理能力、数 形结合能力的考查，其广泛运用于高考试 题的各种类型，每年试题中有 1014 个题 都与图形有关。 二、以后几年高考数学命题变化趋势： （1）高考数学命题难度微小变化，卷 三 2018 年文、理科试卷选择题有 8 个题、 填空题有 1 个，解答证明题有 4 个半（解 析几何理科多求公差）题 90 分左右相同， 2019 年文、理科试卷选择题有 8 个题、填 空题有 2 个，解答证明题有近 5 个（立体 几何、解析几何、函数都有一半以上相 同）题 105 分以上相同，逐步尝试文、理 不分科，对 2020 年高考文、理不分科的省 市文科学生要适度增加数学难度，其水平 可参考 18、19 年全国卷的数学试题； （2）命题是以考查学生掌握知识及体 现学生能力的立意原则，突出应用性和创 新性，19 年的全国卷文、理科试卷总体似 乎偏难，但仔细研究分析，三角函数、立 体几何、导数应用、解析几何、极坐标题 难度并不太大，但较新颖，题目结合我国 的经济发展、社会实践、数学文化，铺垫 了大量的情景问题，如高铁运行、探测器 软着陆、药品检验、残留物测定、印章结 构、篮球决赛、乒乓球比赛等，老师要着 重教会学生从题设描述的已知条件中，捕 捉对解题有用的数据、图形、等式或不等 式，结合知识点，理清解题思路，寻找关 健突破口，加强运算及化简能力，考生成 绩较差，说明学生解题的能力有待提高； （3）命题立足教材、基于教材、回归 教材，有部分题可直接源于教材，教材的 结论、习题的结果、平时解题积累的知 识，可直接用于考试； （4）命题结合数学核心素养的培养， 基本不出偏题、怪题和难度太大的题，19 年全国高考题题型有所变化，并不太难； （5）题量暂时不变，仍然为 12+4+6 题型模式，共 22 题，但分值可能有所微 调，如卷二第 16 题关于金石文化的印记问 题填空有二问，分别是 2 分（利用对称性 可数出面数 26 个）和 3 分（将立体图形作 一截面，在平面几何中一边长为 1 的正方 形 内 求 正 八 边形 的 边长a， 1 2 2 a a= ， 21a =） ，适当增加多选题、开放性题及半 开放性题，18、19 年试卷已有所体现； （6）难题一般仍然在 20、21 题，但 不一定是解几、函数，有可能是其他类 型，18 年已有所尝试，卷二 20 题为立体几 何，卷一 20 题为概率统计，19 年 17 题为 统计、18 题为三角、20 题为函数、21 题为 解几，22 题极坐标题较新颖、23 不等式证 明较难（卷一、卷二的 22、23 题简单） 。 三、2019 年部分全国卷题参考解答 *1、19 年一卷理科 15 题： 甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制。根 据前期成绩，甲队的主客场安排依次为主主客客主客 主，设甲队的主客场取胜的概率分别为 0.6 和 0.5， 且各场比赛相互独立，则甲队 4 比 1 获胜的概率是 。 解：该题有应用背景，考查学生分析问题及解决问 题的能力，计算看似简单，但有技巧。 甲队 4 比 1 获胜的情形为：负胜胜胜胜，胜负胜胜 胜，胜胜负胜胜，胜胜胜负胜 故甲队 4 比 1 获胜的概率是 223 2 2 0.4 0.6(1 0.5)2 0.6(1 0.5) 0.5 2 0.5 0.60.5 (0.40.6)0.36 0.50.18 + = += 。 对于概率统计题，请老师和同学们关 注卷三的 2013 年理科 19 题，2017 年理科 18 题及卷一的 2018 年理科 20 题，2019 年 理科 21 题等，这些题都与经济发展的供给 侧结构性改革和数学的科学价值有关。 19 年一卷理科 21 题： 为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望 知道哪种新药更有效，为此进行了动物实验，实验方 案如下：每一轮选取两只白鼠对药物进行对比试验， 对于两只白鼠随机选取一只施以甲药，另一只施以乙 药，一轮的实验得出结果后，再安排下一轮实验。当 其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只 时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效。为 了方便描述问题，约定对于每轮试验，若施以甲药的 白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈的则甲药得 1 分， 乙药得-1 分，同理另一种情形乙药得 1 分，甲药得- 1 分，若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分，甲、 乙两种新药治愈率分别记为和，一轮试验中甲药 的得分记为X， （1）求X的分布列； （2）若甲、乙两种新药在试验开始时都赋于 4 分， (1,2,8) i P i =表甲药的累计得分为i时，最终认为 甲药比乙药更有效的概率， 0=0 P， 8=1 P， 11 ( 1,2,7) iiii PaPbPcPi + =+=，其中(1)aP X=， (0)bP X=，(1)cP X=，假设0.5=，0.8=， 证明： 1 (1,2,7) ii PPi + =为等比数列， 且求 4 P，并根据 4 P的值解释这种试验方案的合理性。 解： （1）X取值为1、0、1，其分布列为： (1)(1)P X =，(0)(1)(1)P X=+， (1)(1)P X=， （2）当0.5=，0.8=时，(1)0.5 0.80.4aP X= =， (0)0.5 0.80.5 0.20.5bP X=+=，(1)0.1cP X=， 11 0.40.50.1 iiii PPPP + =+，故 11 0.1()0.4() iiii PPPP + =， 即 11 ()4() iiii PPPP + = ，因 101 0PPP=， 所以 1 (1,2,7) ii PPi + =是首项为 1 P，公比为 4 的 等比数列， 8877610 ()()()PPPPPPP=+= 88 76 11111 4141 44 4 13 PPPPP =+= 由 8=1 P，得 1 8 3 = 41 P ， 4433210 ()()()PPPPPPP=+= 4 43 1111 41 44 3 PPPP =+= 4 8 4131 341257 = ， 4 P表最终甲药更有效的概率，由结果可以看出， 甲治愈率为 0.5，乙治愈率为 0.8，认为甲药更有效 的概率为 1 0.0039 257 非常小，说明检验方法合理。 2、函数 ( )22f xsinxsin x= 在0,2 函数的零点个数为 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5ABCD （19年文科） 解： ( )2(1)0f xsinxcosx= ， 3 0 x =， 3 x=， 3 2x=，选( ) B 。 *3、设函数( )(5) (0)f xsinx=+ ，已知 ( )f x 在0,2 上有且仅有 5 个零点，下述四个结论： 1 、 ( )f x 在(0,2 ) 上有且仅有 3 个极大值点 2 、 ( )f x 在(0,2 ) 上有且仅有 2 个极小值点 3 、 ( )f x 在(0, 10) 上单调递增 4 、的取值范围是12 5, 29 10)上单调递增 其中所有正确结论的编号是 ( ) 1 4 ( ) 2 3 ( ) 1 2 3 ( ) 1 3 4ABCD 该题是一多选题，也是难度较大，考生得分较低的 题，解题思路是要对正弦函数的周期、零点、极大 值、极小值、单调性及图形非常熟悉，综合性强。 解：作 ( )f x 的草图，对2= ， ( )f x 的周期为， 在0,2 上有且仅有 4 个零点，不合题意， 故 2 ，取 12 5= 成立， ( )f x 的周期为5 6 ， 当 8x= 时， ( )f x 的取得一个极大值，3成立， 对3= ， ( )f x 的周期为2 3 ， 在0,2 上有且仅有 6 个零点，又不合题意， 故 3 ，当12 5 29 10 ，有且仅有 5 个零点， 又有三个极大值点和三个极小值点，1 成立， 2不成立，选( ) D 。 （卷一的文、理科第 4 题著名的断臂维纳斯关于人体 的黄金分割点问题，其解答相当难。由 5 1 0.618 2 ， 设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为A、B、C、D，人 身高为x，则0.618105CDxcm=，0.382ACx=， 2 0.382(0.382)26ABACx= ，解得171178cmxcm。) *4、ABC的内角 , , A B C所对边分别为, , a b c，已知 2asin ACbsinA+=（）(1)求B，(2)若ABC 为锐角三角 形，且 1c =，求ABC面积的取值范围。 （19 年文、理科） 该题第一问是常规解法，第二问有些新颖但并不 难，解题思路是用面积公式、两次使用正弦定理及极 限思想求参数的取值范围从而得面积的取值范围，考 生知识的迁移能力太差，分数应有更大的提升空间。 解： （1）由题设及正弦定理得： 2 AC sinAsinsinBsinA + = ， 因0sinA ，所以： 2 AC sinsinB + = ， 由 180ABC+= ，可得： (90) 222 ACBB sinsincos + = ， 故 2222cosBsinBsinBcosB= ， 又 20cosB， 得21 2sinB= ， 因此 60B = ； （2） ABC的面积为： 1133 1 2224 ABC SacsinBaa = = ， 又由正弦定理得： (120)13131 () 2222 csinAsinC acosCsinC sinCsinCsinCtanC =+=+ ， 由于 ABC 为锐角三角形，故0 90A ，0 90C ， 又 120A C+= ，所以30 90C ，得： 1 2 2 a ， 33 82 ABC S ， 因此 ABC 面积的取值范围是： 33 82 （， ） 。 *法二：数形结合的极限方法图解法 由（1）60B = ， ABC 为锐角三角形，故0 90A ， 090C ，又 120A C+= ，所以30 90C ， 令90C ，得一直角边分别为 1 2 ， 3 2 的直角三角 形，其面积为 3 8 ，令 30C ，得一直角边分别1 3 ， 的 直角三角形，其面积为 3 2 ， 因此 ABC 面积的取值范围是： 33 82 （， ） 。 5、已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa=+，则 3 a =（2019 年理科） ( ) 16 ( ) 8 ( ) 4 ( ) 2ABCD 解：设公比为q， 42 5111 34aaqaqa=+， 1 0a ， 42 340qq=， 2 4q =，因0q ，故2q =，由 4 1 41 (1 2 ) 1515 1 2 a Sa