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2018-2019学年湖南省衡阳八中高三(上)第二次月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1设集合, =,则=( )ABCD2设是虚数单位,复数为纯虚数,则实数的值为( )A1B1C2D23函数的导函数的图象如图所示,则函数的图象可能是( )ABCD4已知等差数列中,是函数的两个零点,则的前8项和等于( )A16B8C16D5下列命题错误的是( )A命题“,”的否定是“,”B若是假命题,则,都是假命题C双曲线的焦距为D设是互不垂直的两条异面直线,则存在平面,使得,且6已知,则=( )ABCD7已知函数则()ABCD8若,则()ABCD9将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则图象的一条对称轴是直线()ABCD10已知,点为斜边的中点,则等于()A14B9C9D1411某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形,点为的中点,则该几何体的外接球的表面积是()ABCD12若函数,对于给定的非零实数,总存在非零常数,使得定义域内的任意实数,都有恒成立,此时为的类周期,函数是上的级类周期函数若函数是定义在区间内的2级类周期函数,且,当时,函数若,使成立,则实数的取值范围是()ABCD二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13已知向量与的夹角为,且,则= 14设实数满足约束条件,则的最大值是 15有一个游戏:盒子里有个球,甲,乙两人依次轮流拿球(不放回),每人每次至少拿一个,至多拿三个,谁拿到最后一个球就算谁赢若甲先拿,则下列说法正确的有: 若,则甲有必赢的策略; 若,则乙有必赢的策略;若,则乙有必赢的策略; 若,则甲有必赢的策略16中,三内角的对边分别为,且满足,是以为直径的圆上一点,则的最大值为 三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17如图,已知是内角的角平分线(1)用正弦定理证明:;(2)若,求的长18如图,由,围成的曲边三角形,在曲线弧上有一点,(1)求以为切点的切线方程;(2)若与,两直线分别交于两点,试确定的位置,使面积最大19如图,已知平面,平面,为等边三角形,为的中点(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值的大小20若数列是公差为2的等差数列,数列满足,且()求数列、的通项公式;()设数列满足,数列的前项和为,若不等式对一切,求实数的取值范围21已知,()若,求的极值;()若函数的两个零点为,记,证明:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.选修4-4:坐标系与参数方程(本题12分)22在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为:()求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;()设直线与曲线交于不同的两点、,若,求的值选修4-5:不等式选讲(本题12分)23已知定义在上的函数,若存在实数使得成立(1)求实数的值;(2)若,求证:2018-2019学年湖南省衡阳八中高三(上)第二次月考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1【分析】先分别求出集合和,由此利用交集定义能求出【解答】解:集合,故选:D【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用2【分析】由复数代数形式的乘除运算化简,由整理出实部和虚部,由纯虚数的定义列出方程组,求出的值【解答】解:由题意得,因为复数为纯虚数,所以,解得,故选:A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,以及纯复数的定义的应用,属于基础题3【分析】根据导数与函数单调性的关系,当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数的图象可能【解答】解:由当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,则由导函数的图象可知:先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除,且第二个拐点(即函数的极大值点)在轴上的右侧,排除,故选:D【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题4【分析】由韦达定理得,从而的前8项和,由此能求出结果【解答】解:等差数列中,是函数的两个零点,的前8项和故选:C【点评】本题考查等差数列的前8项和公式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用5【分析】利用命题的否定形式判断的正误;复合命题的真假判断的正误;双曲线的焦距判断正误;异面直线的位置关系判断的正误【解答】解:命题“,”的否定是“,”满足命题的否定形式,正确;若是假命题,则,都是假命题,不正确,因为两个命题一个是假命题,则是假命题,所以不正确;双曲线的焦距为,正确;设是互不垂直的两条异面直线,则存在平面,使得,且,满足直线与平面平行的判定定理,平面的基本性质,所以正确;故选:B【点评】本题考查命题的真假的判断与应用,是基本知识的考查6【分析】由题意利用诱导公式,求得要求式子的值【解答】解:,则,故选:D【点评】本题主要考查诱导公式的应用,属于基础题7【分析】由,得到,由此能求出结果【解答】解:,=2故选:D【点评】本题考查函数的定积分的求法,考查导数、不定积分、定积分等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题8【分析】利用对数函数的单调性判断出;由于的指数相同,所以研究一个幂函数的单调性;利用幂函数的单调性判断出的大小,都是幂得到全正,比较出的大小【解答】解:即考察幂函数当时,是减函数所以有故选:A【点评】本题考查利用对数函数的单调性比较大小、考查利用幂函数的单调性比较大小9【分析】首先利用正弦函数的图象的伸缩变换和平移变换求出函数的关系式,进一步利用函数的性质求出结果【解答】解:将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到:y=sin(2x+)的图象,再向右平移个单位长度,得到函数:的图象,令,解得:,当时,故选:B【点评】本题考查的知识要点:正弦函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用,正弦型函数性质的应用10【分析】建立坐标系,求出各点坐标再计算数量积【解答】解:以,为坐标轴建立平面直角坐标系,则,=1+10=9故选:C【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题11【分析】可得该几何体是六棱锥,底面是正六边形,有一条侧面垂直底面过底面中心作底面垂线,过侧面的外心作面的垂线,两垂线的交点即为球心,根据三视图的数据求出球的半径即可【解答】解:如图,可得该几何体是六棱锥,底面是正六边形,有一侧面垂直底面,且在底面的投影为中点,过底面中心作底面垂线,过侧面的外心作面的垂线,两垂线的交点即为球心,设的外接圆半径为,解得,则该几何体的外接球的半径=,表面积是则该几何体的外接球的表面积是故选:C【点评】本题考查几何体的外接球的体积的求法,考查几何体三视图等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力,是中档题12【分析】根据题意,由函数在上的解析式,分析可得函数在上的最值,结合级类周期函数的含义,分析可得在上的最大值,对于函数,对其求导分析可得在区间上的最小值;进而分析,将原问题转化为的问题,即可得,解可得的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,对于函数,当时,分析可得:当时,有最大值,最小值,当时,函数的图象关于直线对称,则此时有,又由函数是定义在区间内的2级类周期函数,且;则在上,则有,则,则函数在区间上的最大值为8,最小值为12;对于函数,有,分析可得:在上,函数为减函数,在上,函数为增函数,则函数在上,由最小值,若,使成立,必有,即,解可得,即的取值范围为;故选:B【点评】本题考查函数的最值问题,注意将题目中“,使成立”转化为函数的最值问题二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13【分析】根据,对的两边平方即可得出关于的方程,解方程即可得出的值【解答】解:,;解得故答案为:【点评】考查向量夹角的概念,以及向量数量积的运算及计算公式14【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识求出的最小值【解答】解:由的几何意义可知可行域内的点与坐标原点连线的斜率,作出实数满足约束条件可行域如图:经过点时,直线的斜率最大,由,解得此时的最大值为:1,故答案为:1【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法15 【分析】考虑与4的关系,调整甲、乙取球的个数,可使赢球的可能性【解答】解:若,由于甲先拿,最多3个,一定是乙赢,故错误; 若,由于甲先拿,最少1个,最多3个,可以甲最多拿2个,甲可以拿到最后一个球,则甲有必赢的策略,故错误;若,由于甲先拿,最少1个,最多3个,则甲有必赢的策略,故错误;若,由于甲先拿,最少1个,最多3个,不管怎样甲可以拿到最后一个球,甲有必赢的策略,故正确故答案为:【点评】本题考查取球游戏,考查取胜的策略,考查推理能力,属于基础题16【分析】根据,a=1,利用正弦定理和三角形内角和定理即可求解,作的外接圆,当经过的外接圆的圆心且垂直于时,最大即可求解【解答】解:由,得,根据正弦定理(+),可得,即作的外接圆,当经过的外接圆的圆心且垂直于时,最大设中点为,此时=那么:=故答案为:【点评】本题考查了正弦定理,三角形内角和定理以及ABC的外接圆的最大值问题属于中档题三、解答题(本大题共5小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17【分析】(1)根据是的角平分线,利用正弦定理,即可证明结论成立;(2)根据余弦定理,先求出的值,再利用角平分线和余弦定理,即可求出的长【解答】解:(1)是的角平分线,根据正弦定理,在中,在中,;(2)根据余弦定理,即,解得,又,解得=,=;设,则在与中,根据余弦定理得,=,且=,解得,即的长为【点评】本题考查了角平分线
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