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2019级高三上学期期中考试数学试题卷(文科) 第卷(选择题,共60分)一、选择题.(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.已知集合则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化简集合,根据并集运算即可.【详解】因为,所以,故选D.【点睛】本题主要考查了集合的并集运算,属于容易题.2.等比数列中,若,则( )A. 6 B. C. 12 D. 18【答案】A【解析】【分析】根据等比数列可知,所以,故可求出.【详解】因为,所以,故,所以选A.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式,属于中档题.3.计算的结果是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角公式计算即可.【详解】因为 ,故选B.【点睛】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式,属于中档题.4.下列函数为奇函数的是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的定义逐项检验即可.【详解】A选项中故不是奇函数,B选项中故不是奇函数, C选项中故不是奇函数, D选项中,是奇函数,故选D.【点睛】本题主要考查了奇函数的判定,属于中档题.5.已知非零向量的夹角为,且则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据数量积的性质,展开计算即可. 【详解】因为,所以选B.【点睛】本题主要考查了数量积的运算性质,属于中档题.6.已知实数x,y满足约束条件,则的最小值为A. 1 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2xy得y=2xz,平移直线y=2xz,由图象可知当直线y=2xz经过点(0,2)时,直线的截距最大,此时z最小,此时z=02=2,故选:C【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决本题的关键7.圆半径为,圆心在x轴的正半轴上,直线3x+4y+40与圆相切,则圆的方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标(a,0)a大于0,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+40的距离,由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值得到圆心的坐标,然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可【详解】设圆心为(a,0)(a0),由题意知圆心到直线3x+4y+40的距离dr2,解得a2,所以圆心坐标为(2,0)则圆C的方程为:(x2)2+y24,化简得x2+y24x0故选:B【点睛】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件,灵活运用点到直线的距离公式化简求值,会根据圆心和半径写出圆的标准式方程,是一道中档题8.过抛物线的焦点作斜率为的直线,与抛物线在第一象限内交于点,若,则( )A. 2 B. 1 C. D. 4【答案】A【解析】【分析】过A作ABx轴于B点,RtABF中,作斜率为的直线,由AFB且|AF|4,得|BF|2,从而求得A的横坐标再由抛物线的焦半径公式可得p的值即可【详解】解:过A作ABx轴于B点,过抛物线y22px(p0)的焦点F作斜率为的直线,则在RtABF中,AFB,|AF|4,|BF|AF|2,则xA2,|AF|xA2+p4,得p2故选:A【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识,属于中档题9.已知双曲线过点且其渐近线方程为,的顶点恰为的两焦点,顶点在上且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线过点M(3,4)且其渐近线方程为y,求出双曲线的方程,再根据双曲线的定义以及正弦定理即可求出【详解】解:设双曲线的方程为1,由其渐近线方程为y,可得,又1,1,此时无解,故双曲线的焦点在y轴上,可设方程为1,由由其渐近线方程为y,可得,又1,1,a24,b23,c2a2+b27,2c2,又|AC|BC|,|AC|BC|2a4,由正弦定理可得,故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的方程和简单性质,以及正弦定理,考查了运算能力和转化能力,属于中档题10.若函数有两个不同的零点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令f(x)0得出axlnx,在同一坐标系内画出yax和ylnx的图象,利用图象求出曲线ylnx过原点的切线方程,即可求出实数a的取值范围【详解】函数f(x)axlnx,其中x0;令f(x)0,axlnx;在同一坐标系内画出yax和ylnx的图象,如图所示;设曲线ylnx上点P(x0,y0),则y,过点P的切线方程为yy0(xx0),且该直线过原点,y01,lnx01,解得x0e,过点P的切线斜率为,所求实数a的取值范围是(0,)故选:D【点睛】本题考查了函数零点的应用问题,也考查了直线与对数函数图象交点的应用问题,是中档题11.已知数列的前项和为,首项,且,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用递推关系式和猜想法求出数列的通项公式,最后利用数学归纳法进行证明,进一步求出结果【详解】解:数列an的前n项和为Sn,满足Sn(n2),则:,所以:,当n2时,当n3时,猜想:,下面用数学归纳法来证明:当n1时,当nk时,则当nk+1时,综上所述:所以:故选:A【点睛】本题考查的知识要点:利用递推关系式求出数列的通项公式,数学归纳法的应用12.已知双曲线的右顶点为, 以为圆心的圆与双曲线的某一条渐近线交于两点.若,且(其中为原点),则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设双曲线的一条渐近线方程为x,A(a,0),P(m,),(m0),由向量共线的坐标表示,可得Q的坐标,求得弦长|PQ|,运用中点坐标公式,可得PQ的中点坐标,由两直线垂直的条件:斜率之积为1,可得m,r,运用圆的弦长公式计算即可得到a,b的关系,再由离心率公式计算即可得到所求值【详解】解:设双曲线的一条渐近线方程为yx,A(a,0),P(m,),(m0),由3,可得Q(3m,),圆的半径为r|PQ|2m,PQ的中点为H(2m,),由AHPQ,可得,解得m,rA到渐近线的距离为d,则|PQ|2r,即为dr,即有可得,e另解:可得PAQ为等边三角形,设OPx,可得OQ3x,PQ2x,设M为PQ的中点,可得PMx,AMx,tanMOA,则e故选:C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件:斜率之积为1,以及圆的弦长公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题第卷(非选择题 共90分)二、填空题、(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填写在答题卡相应位置上)13.函数在点处的切线方程为_;【答案】【解析】【分析】根据题意,由函数的解析式计算f(1)的值,即可得切点坐标,进而求出函数的导数,求出f(1)的值,即可得切线的斜率,由直线的点斜式方程计算可得答案【详解】根据题意,f(x)=ln(x+2),则f(1)=ln1=0,即切点的坐标为(1,0),又由f(x)=,则k=f(1)=1,则切线的方程为:y=1(x+1),即y=x+1,故答案为:y=x+1【点睛】本题考查利用导数计算切线的方程,关键掌握导数的几何意义,属于基础题14.若x,且,则的最小值为_;【答案】8【解析】【分析】由题意可得+=(+)(x+2y),展开利用基本不等式可得最小值【详解】x0,y0,且x+2y=1,求+=(+)(x+2y)=4+3+2=4+4=8当且仅当,并且x+2y=1即x=且y=时取等号,+的最小值为8【点睛】本题考查基本不等式求最值,“1”的代换是解决问题的关键,属基础题15.已知,分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上一点,且,则_【答案】36【解析】【分析】根据椭圆的定义知,再由余弦定理可得 ,即可解出.【详解】由椭圆定义可知,且,根据余弦定理得:,所以 解得,故填36.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,椭圆方程,余弦定理,属于中档题.16.已知函数满足,且对任意恒有,则_【答案】【解析】【分析】根据可归纳出函数为周期函数,利用周期函数的性质求解即可.【详解】令,可得,所以 令,可得,所以 令 ,可得 ,所以 令 ,可得 ,所以 令, 可得 ,所以 令,可得 ,所以 令, 所以 故函数是6为周期的周期函数所以,.【点睛】本题主要考查了抽象函数的周期性,属于中档题.三、解答题.(共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)17.在中,角所对的边分别为,且.(1)证明:成等比数列;(2)若,且,求的周长.【答案】(1)见解析(2)9【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦定理求出结果(2)利用三角函数关系式的变换和余弦定理求出结果【详解】证明:由正弦定理得:且整理得:,所以:,所以:,由正弦定理得:,故:a,c,b成等比数列由,所以:,所以:,解得:由余弦定理得:,由于:故:于是得:,解得:所以的周长为【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18.如图1,在直角中,分别为的中点,连结并延长交于点,将沿折起,使平面平面,如图2所示图1 图2(1)求证:;(2)求四棱锥的体积【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】()利用折叠问题的应用,根据面面垂直转换为线面垂直,进一步求出线线垂直()利用()的结论,进一步利用锥体的体积公式求出结果【详解】如图所示:证明:由条件可知,E为BD的中点,所以:,又面面BDC,面面,且面ABD,所以:面BCD,又因为平面BCD,所以:由题给数据知,为等边三角形,E为BD的中点,因此中,因此,由知面BCD,所以
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