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2018-2019学年度12月月考数学试题一、选择题:本大题共l2小题,每小题5分.共60分,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的1.若复数,则其虚部为( )A. -1 B. 2 C. -2 D. 【答案】B【解析】分析:利用复数的运算法则进行求解详解:因为,所以复数的虚部为2.点睛:本题考查复数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力2.设函数(为自然对数的底数).若,则( )A. B. C. D. 1【答案】D【解析】分析:利用函数的求导法则求导,再代值求导详解:因为,所以数,若,所以1点睛:本题考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力3.,是距离为2的两定点,动点M满足+=4,则M点的轨迹是A. 椭圆 B. 直线 C. 线段 D. 圆【答案】A【解析】【分析】由椭圆的定义可判断M点的轨迹是椭圆.【详解】由椭圆的定义,,是距离为2的两定点,则动点M满足+=4,即 ,则M点的轨迹是椭圆.故选A.【点睛】本题考查椭圆的定义,属基础题.4.与双曲线有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线标准方程为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设与双曲线有共同的渐近线的双曲线方程为,双曲线过点所求双曲线方程为,即为,故选B.5.在区间上的最小值是A. B. 0 C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】先判断函数在的单调性,继而求出最小值【详解】f(x)=x-lnx,函数的定义域为(0,+),由f(x)=0得x=1当x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递减;当x(1,+)时,f(x)0,f(x)单调递增;由此可知,函数f(x)在上递减,在(1,e上递增,当x=1是函数f(x)的最小值点,f(1)=1-0=1故f(x)的最小值是1故选C.【点睛】本题主要考查运用导数解决函数的最值问题求函数的单调区间,应该先求出函数的导函数,令导函数大于0得到函数的递增区间,令导函数小于0得到函数的递减区间.6. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 ( )A. ()和();B. ();C. ()和();D. ();【答案】A【解析】根据共线的定义可得,设与向量共线的单位向量为,所以,可得,所以与向量共线的单位向量为或,故选A。7.若,则等于( )A. B. C. D. 以上都不是【答案】A【解析】主要考查瞬时变化率、平均变化率以及导数的概念。解:=,故选A。8.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是A. B. C. D. 【答案】C【解析】本题考查函数的导数与单调性.从导数的图象可知,函数有,两个极值点,其中是极小值,是极大值.当时,则在递减;当时,则在在递增;当时,则在在递增递减观察上面的函数图象,符合条件的只有C9.已知正方形的顶点为椭圆的焦点,顶点在椭圆上,则此椭圆的离心率为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆方程为 ,可得正方形边长AB=2c,再根据正方形的性质,可计算出 最后可得椭圆的离心率【详解】设椭圆方程为,正方形ABCD的顶点A,B为椭圆的焦点,焦距2c=AB,其中 BCAB,且BC=AB=2c, ,根据椭圆的定义,可得 椭圆的离心率 故选:D【点睛】本题给出椭圆以正方形的一边为焦距,而正方形的另两个顶点恰好在椭圆上,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的基本概念和简单性质,属于基础题10.如图,是直三棱柱,BCA=90,点、分别是、的中点,若,则与所成角的余弦值是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取BC的中点D,连接D1F1,F1D,AD利用三角形的中位线定理可得D1BD1F,因此DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角在DF1A中利用余弦定理即可得出【详解】取BC的中点D,连接D1F1,F1D,AD D1BD1F,DF1A就是BD1与AF1所成角或其补角设BC=CA=CC1=2,则 在DF1A中,利用余弦定理可得 故选D【点睛】本题考查了异面直线所成的夹角、三角形的中位线定理、余弦定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法,属于基础题11.函数的图像在区间上连续不断,且,则对任意的都有A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意构造函数求出h(x)的导数, 由条件判断出h(x)的符号,得到函数在区间上的单调性,由单调性的定义和选项列出不等式,再化简即可【详解】由题意设 所以 ,因为,所以 则函数h(x)在a,b上单调递增,因为ba,所以h(b)h(x)或h(x)h(a),即 或 ,所以 或,故选:B【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系,函数单调性的定义的应用,考查构造函数法,构造恰当的函数是解题的关键,属于中档题12.对实数和,定义运算“”:,设函数若函数的图像与轴恰有三个公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据依题意确定函数f(x)的解析式,画出函数图象,通过观察确定c的范围【详解】有定义可得,当时,即-1x2时,f(x)=,当时,即x2或x-1,f(x)=函数图象如图:=f(x)-c的图象是由函数f(x)向下平移c个单位获得的,如图,要使函数图象与x轴恰有三个交点,函数的极大值 极小值 由此解得 .故选B.【点睛】本题主要考查了函数图象与性质,函数图象的平移,分段函数的应用注重了对数形结合的思想的运用二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13.抛物线的准线方程是_【答案】【解析】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是14.设复数满足(为虚数单位),则的值为_【答案】. 【解析】分析:由条件得到复数的代数形式,即可求得复数模长.详解:因为,所以=,所以点睛:本题考查复数的四则运算,意在考查学生的计算能力 15.在图四棱锥PABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG3GD,a,b,c,=_.(用基底a,b,c表示向量) 【答案】【解析】【分析】由题意画出图形,然后利用向量加减法的三角形法则求得【详解】如图, .故答案为【点睛】本题考查空间向量的基本定理及其意义,考查向量加减法的三角形法则,是基础题16.已知,函数定义域中任意的,有如下结论:; ; 上述结论中正确结论的序号是_.【答案】【解析】对于 分别表示在处切线斜率 表示 与 两点连线的斜率,画出的图象,数学数学结合判断出对,错;对于,由于是增函数,故有成立,故正确;对于,的图象上凸性质,所以有,故不正确,故答案为.三解答题:本大题共6小题.共70分,解答写出文字说明、证明过程或推演步骤17.已知复数 (,为虚数单位)(1)若是纯虚数,求实数的值;(2)若,设 (),试求.【答案】(1);(2)【解析】分析:()先把复数整理成的形式,由虚部等于0得到实数的值;()把复数整理成的形式,根据复数相等的条件得到的值进而求出。详解:()若是纯虚数,则,解得.()若,则. , ,. 点睛:本题考查纯虚数和复数相等的概念,以及复数的四则运算。对于复数要掌握常规运算技巧和常规思路,其次要熟记复数 的实部、虚部、模、几何意义、共轭复数等知识点18.已知函数.(I)当时,求曲线在处的切线方程;()若当时,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】试题分析:()先求的定义域,再求,由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为()构造新函数,对实数分类讨论,用导数法求解.试题解析:(I)的定义域为.当时,曲线在处的切线方程为(II)当时,等价于设,则,(i)当,时,故在上单调递增,因此;(ii)当时,令得.由和得,故当时,在单调递减,因此.综上,的取值范围是【考点】 导数的几何意义,利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法:(1)确定函数yf(x)的定义域;(2)求导数yf(x);(3)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间视频19.如图,在三棱锥P-ABC中,PA底面ABC,点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2(1)求证:MN平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;【答案】(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF平面BDE,NF平面BDE得到平面MFN平面BDE,则MN平面BDE;(2)由PA底面ABC,BAC=90可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C-EM-N的余弦值,进一步求得正弦值;【详解】(1)证明:取AB中点F,连接MF、NF,M为AD中点,MFBD,BD平面BDE,MF平面BDE,MF平面BDEN为BC中点,NFAC,又D、E分别为AP、PC的中点,DEAC,则NFDEDE平面BDE,NF平面BDE,NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE,则MN平面BDE;(2)PA底面ABC,BAC=90以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4,AB=2,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则 设平面MEN的一个法向量为 由 ,得 ,取z=2,得 由图可得平面CME的一个法向量为 二面角C-EM-N的余弦值为,则正弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题20.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距640米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,设需要新建个桥墩,记余下工程的费用为万元.(1)试写出关于的函数关系式;(注意:)(2)需新建多少个桥墩才能使最小?【答案】(
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