资源预览内容
第1页 / 共17页
第2页 / 共17页
第3页 / 共17页
第4页 / 共17页
第5页 / 共17页
第6页 / 共17页
第7页 / 共17页
第8页 / 共17页
第9页 / 共17页
第10页 / 共17页
亲,该文档总共17页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
中学生标准学术能力诊断性测试2018年12月测试理科数学试卷(一卷)本试卷共150分,考试时间120分钟.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数的定义域为,若,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据函数的解析式求出定义域,再结合题意即可求出结果.【详解】由函数可得,因,所以有且,解得,故选C.【点睛】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题型2.已知变量,满足约束条件,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由不等式组作出平面区域,将目标函数转化为求斜率的问题即可求解.【详解】由不等式组作出如图所示的图像,因为令,则表示平面区域内的点与定点联系的斜率,由图像可知,由点,所以,故.【点睛】本题主要考查简单的线性规范,属于基础题型.3.已知某几何体的俯视图是如图所示的边长为1的正方形,正视图与侧视图都是边长为1的正三角形,则此几何体的体积是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图,得该几何体是正四棱锥,再由公式球体积即可.【详解】根据几何体的三视图,得该几何体是底面边长1,高为的正四棱锥, 所以该几何体的体积为.【点睛】本题主要考查几何体的体积,属于基础题型.4.直线过抛物线的焦点,与该抛物线及其准线从上向下依次交于、三点,若,则( )A. 2 B. C. 3 D. 4【答案】A【解析】【分析】分别过点、作准线的垂线,利用抛物线定义将、到焦点的距离转化为到准线的距离,结合已知比例关系,即可得p的值.【详解】如图,分别过点、作准线的垂线交准线于、,设,则,所以,在直角三角形中,因为,所以,所以,即,因为,所以,,解得.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,属于基础题型.5.定义,若展开式中一次项的系数为,则等于(为虚数单位)( )A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先将按定义写出,进而求出m,再由复数的运算求出结果即可.【详解】由定义可得,因此其展开式中一次项是由每一个括号内的的一次项与其余括号内的常数项相乘再相加得到.括号内的一次项系数依次为,其余括号内的常数项都是1,所以展开式中一次项的系数为,所以.【点睛】本题主要考查复数的运算,属于基础题型.6.函数的大致图像是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由函数的零点排除B,D选项,再根据函数的单调性排除C选项,即可求出结果.【详解】令可得,即函数仅有一个零点,所以排除B,D选项;又,所以由,可得,由得,即函数在上单调递增,在上单调递减,故排除C.【点睛】本题主要考查函数的图像,属于基础题型.7.已知正项等比数列的公比不为1,为其前项积,若,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由先得,从而用公比表示出,进而可求出结果.【详解】设等比数列的公比为q,因为为正项等比数列的前项积,所以,所以,所以,因此,故,所以.【点睛】本题主要考查等比数列的性质和对数的运算,属于基础题型.8.在中,、的对边分别是、.若,则的最大值为( )A. 3 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理先将边化为角的正弦值,再由三角函数的性质,即可求出结果.【详解】因为,设三角形外接圆半径为R,由正弦定理可得,所以,故其中.所以.【点睛】本题主要考查解三角形的问题,属于常考题型.9.已知,有下列命题:若,则;若,则;若,则; 若,则;其中真命题的个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】借助平方差公式,立方差公式,结合题中条件,依次判断即可.【详解】取,则,但,故错;因,所以,因此;即正确;因,所以,故正确;因,由,得,所以,故正确.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,属于基础题型.10.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,圆锥内接圆柱的全面积与圆锥的侧面积相等,则圆柱的高为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设圆锥与圆柱的底面圆半径和高,由题意得到四者之间关系,用圆锥与圆柱的面积公式即可求解.【详解】设圆柱的底面圆半径为,高为h,设圆锥的底面圆半径为,高为H,则有,又圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,所以圆锥的侧面积为,且,所以,所以,故圆柱的表面积为;又圆锥的侧面展开图是一个半径为,圆心角为的扇形,所以圆锥的侧面积为,由题意,即,解得.【点睛】本题主要考查几何体的表面积,属于基础题型.11.椭圆的右顶点为,下顶点为,左焦点为,若外接圆的圆心在直线的右下方,则此椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题意得的坐标,设出外接圆方程,将的坐标代入圆的方程,求出圆心,坐标,再根据圆心在直线的右下方,即可求出结果.【详解】由题意,,设外接圆方程为所以有,解之得,,所以圆心坐标为,又圆心在直线的右下方,所以有,整理得:即,所以,所以,因此椭圆的离心率的取值范围是.【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质,属于中档试题.12.已知函数,若方程有且只有三个不同的实数根,则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题,结合函数图像,即可求出结果.【详解】由得,即,设,,的顶点在直线上,而与的交点坐标为,联立,可得,由,得,结合函数,的图像可得,要使有且只有三个不同的实数根,只需.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用,难度较大.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.若函数图像的对称轴是,则非零实数的值为_【答案】【解析】【分析】利用含绝对值符号函数的对称性即可求解.【详解】因为,其对称轴为,由得.【点睛】本题主要考查函数的对称性,属于基础题型.14.已知,为线段上一点,且,若,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据可表示出,,的坐标,再由数量积的坐标表示即可求出结果.【详解】因为,所以,,所以,所以,解得,因点M是线段BC上的一个动点,所以,即满足条件的实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查向量的线性运算性质及几何意义,属于中档试题.15.设、是双曲线的左右焦点,是双曲线上任意一点,过作平分线的垂线,垂足为,则点的轨迹方程是_【答案】【解析】【分析】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上,由双曲线定义可得故,再由OQ是的中位线,可推出为定值,从而可求出结果.【详解】点关于的角平分线PQ的对称点P在直线的延长线上,故,又OQ是的中位线,故,点Q的轨迹是以原点为圆心,a为半径的圆,则点Q的轨迹方程为.【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质,属于中档试题.16.若对任意的,均有成立,则称函数为函数和函数在区间上的“函数”.已知函数,且是和在区间上的“函数”,则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】在区间上分及两种情况考虑即可.【详解】由题意可得,在区间上恒成立,即,当时,函数的图像为一条线段,于是,解得,另一方面,在上恒成立.令,则,因为,所以,于是函数为增函数,从而,所以,则函数为上的增函数,所以,即;综上所述,实数k的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的综合应用,难度较大.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分. 17.已知函数.()求的最小正周期;()在锐角中,分别为角,的对边,且满足,求的取值范围.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)将函数解析式化简整理成正弦型复合函数的形式,即可求解;(2)由正弦定理和题中条件,先求出,结合三角函数的图像和性质即可求出结果.【详解】() 所以函数的最小正周期为.()依题意,由正弦定理,.因为在三角形中,所以.即,当时,;当时,两边平方得,故,.由于锐角三角形,所以.则.又,.所以.又,所以.由,则的取值范围.【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质,属于常考题型.18.如图,正方形与所在的平面互相垂直,且,为的中点.()求证:平面平面;()求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析; (2).【解析】【分析】(1)由面面垂直的判定定理即可证明结论成立;(2)可用立体几何法以及空间向量法两种方法求二面角的余弦值.【详解】(),在中, ,又为正方形,又,又面,面,平面,又平面,平面平面.()方法一:平面平面,平面,即、两两垂直,以、分别为,轴,建立如图所示空间直角坐标系,则,取平面的法向量,设平面的法向量为,则,即,令,则,故,设平面与平面所成锐二面角为,则.方法二:连接,则、共线,是平面与平面的交线,取的中点为,连接,则由平面平面,平面平面,且面,平面,即平面,又为正方形,为的中点,.是平面与平面所成锐二面角的平面角,由()可得,在中,.平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定以及二面角的求法,属于常考题型.19.为加强对企业产品质量的管理,市监局到区机械厂抽查机器零件的质量,共抽取了600件螺帽,将它们的直径和螺纹距之比作为一项质量指标,由测量结果得如下频率分布直方图:()求这600件螺帽质量指标值的样本平均数,样本方差(在同一组数据中,用该区间的中点值作代表);()由频率分布直方图可以近似的认为,这种螺帽的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.()利用该正态分布,求;()现从该企业购买了100件这种螺帽,记表示这100件螺帽中质量指标值位于区间的件数,利用()的结果,求.附:.若,则,.【答案】(1) ; (2)() ().【解析】【分析】(1)频率分布直方图中每一组的中间值可作为该组的平均数,再由公式即可求出平均数和方差;(2)根据正态分布的性质即可求出第一问,由二项分布即可求出第二小问.【详解】()抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为: .()()由()知,从而 , ,
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号