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山东K12联盟2018届高三开年迎春考试数学(文科试题卷)第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则中元素的个数是A. 0 B. 1C. 2 D. 3【答案】D【解析】全集,集合,集合,则,元素的个数为3.选D.2.,则共轭复数的虚部为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】由, 所以的共轭复数为,所以的共轭复数的虚部为,故选B3.在区间上随机取一个实数,使得的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】由有,而,所以,故的概率为,选B.4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由该几何体的三视图知,该几何体由一个半球挖掉个圆锥,再加个圆锥组合而成,半球的半径为2,圆锥的半径1,高为2,所以该几何体的体积为,选D.5.在边长为2的等边三角形中,若,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由,得,所以在线段的一个三等分点, 则在方向上的投影为, 由平面向量的数量积的几何意义得,故选B6.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的为( )A. 7 B. 6 C. 5 D. 4【答案】C【解析】第一次执行循环体后,满足条件,第二次执行循环体后,满足条件,第三次执行循环体后,满足条件,第四次执行循环体后,满足条件,第五次执行循环体后,由于,不满足条件,输出,选C.7.函数的图象大致是A. B. C. D. 【答案】A【解析】 由题意,函数满足,所以函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C,又由且,排除B、D,故选A8.在四面体中,则它的外接球的面积( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意, 可知和是以为公共边的等腰直角三角形, 取的中点,则, 所以外接球的半径为,所以外接球的表面积为,故选B9.以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线,称它们互为共轭双曲线设双曲线:(,)与双曲线互为共轭双曲线,它们的离心率分别为、以下说法错误的是( )A. 、的渐近线方程都是 B. 的最小值是2C. D. 【答案】C【解析】双曲线 的共轭双曲线为,渐近线方程为,答案A正确;,则,当且仅当时,等号成立,即的最小值为2,答案B正确;,故答案C错误;,答案D正确。选C.10.记函数(,)的图象按向量平移后所得图象对应的函数为,对任意的都有,则的值为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数,将函数的图象按向量平移后得到函数 ,由已知有函数的图象关于直线对称,所以,其中,所以,选D.11.函数()在上有两个不同的零点、(),以下正确的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】经分析知,当函数有两个不同的零点时,则与 相切于点,而在上的切线方程为,所以,则,选A.点睛:本题主要考查了函数零点的应用,求曲线的切线方程等,属于中档题。应用数形结合思想是解答本题的关键。12.对于函数,以下描述正确的是( )A. , B. ,C. , D. 【答案】C【解析】设函数,当时,当时,所以,即,设函数,令,令,所以,即,所以,函数的值域为,选C.点睛:本题主要考查求函数的值域,属于中档题。本题的思路:直接用导数求函数的单调性、最值比较困难,所以本题通过构造函数,通过对这两个函数单调性的研究,得到函数的值域。第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知变量、满足则的最大值为_【答案】2【解析】 作出不等式注所表示平面区域,如图阴影部分所示, 令, 由图象可知当直线经过点时,直线的纵截距最大, 此时取得最大值, 由,解得,即, 则的最大值为,代入,得的最大值为 14.公元五世纪张丘建所著张丘建算经卷中第1题为:今有户出银一斤八两一十二铢,今以家有贫富不等,今户别作差品,通融出之,最下户出银八两,以次户差各多三两,问户几何?题目的意思是:每户应交税银1斤8两12铢,若考虑贫富的差别,家最贫者交8两,户别差为3两,则户数为_(1斤两,1两铢)【答案】12【解析】将本题转化为数学问题:等差数列中,首项,公差,1斤8两12铢=24.5两,设户数为n,则,所以。15.过抛物线:的焦点的直线与抛物线交于、两点,过、两点分别作抛物线的准线的垂线,垂足分别为、,若,则抛物线的方程为_【答案】【解析】由抛物线的定义可知,所以三角形AMF为等腰三角形,又,所以MF平分,同理NF平分,所以,在直角三角MFN中,,因为,所以,即,抛物线的方程为。点睛:本题主要考查抛物线的应用,属于基础题。考查作图能力,计算能力。16.的面积,角、的对边分别为、,的内切圆半径等于_【答案】【解析】由 ,根据正弦定理有,化简得,因为,所以,由有,由余弦定理有有,设的内切圆半径为,而,求得。点睛:本题主要考查解三角形,涉及的知识点有正弦定理和余弦定理等。解答本题的关键是由求出角的大小。三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知数列的前项和为,且满足()(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)当时,得;当时,得,所以数列是以 为首项,为公比的等比数列,即可得到(2)由(1)得,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的前项和试题解析:(1)当时,;当时,得,数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以(2)由(1)得,得所以18.在矩形中,为线段的中点,如图1,沿将折起至,使,如图2所示(1)求证:平面平面;(2)求点到平面的距离【答案】(1)见解析;(2).【解析】试题分析:(1)在图1中连接,得,又,利用线面垂直的判定你定理,得平面,进而证得平面 平面.(2)取的中点,连接,得,再根据(1)得到平面,求得三棱锥的体积,利用等积法,即可求解点到平面的距离试题解析:(1)证明:在图1中连接,则 ,平面,平面,平面 平面.(2)取的中点,连接,平面平面,平面,设点到平面的距离为,由(1)平面,知,点到平面的距离为19.为了治理大气污染,某市2017年初采用了一系列措施,比如“煤改电”,“煤改气”,“整治散落污染企业”等下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数()(指数越小,空气质量越好)统计表根据表中数据回答下列问题:(1)将2017年11月的空气质量指数数据用该天的对应日期作为样本编号,再用系统抽样方法从中抽取6个数据,若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号,写出抽出的样本数据;(2)从(1)中抽出的6个样本数据中随机抽取2个,求这2个数据之差的绝对值小于30的概率;(3)根据环境空气质量指数()技术规定(试行)规定:当空气质量指数为(含50)时,空气质量级别为一级,求出这两年11月空气质量指数为一级的概率,你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效?【答案】(1)见解析;(2).(3)见解析.【解析】试题分析:(1)利用系统抽样的方法,即可得到抽出的样本数据;(2)从(1)中抽出的个样本数据中随机抽出个,基本事件总数,再利用古典概型的概率计算公式,即可求解相应的概率;(3)分别求得年月和年月指数为一级的概率,比较即可得到结论试题解析:(1)系统抽样,分段间隔,这些抽出的样本的编号依次是4号、9号、14号、19号、24号、29号,对应的样本数据依次是、56、94、48、40、221(2)从(1)中抽出的6个样本数据中随机抽出2个,基本事件总数为,这两个数据之差的绝对值小于30的有6组:,所以这2个数据之差的绝对值小于概率(3)2016年11月指数为一级的概率,2017年11月指数为一级的概率,说明这些措施是有效的20.已知、分别是离心率为的椭圆:的左、右焦点,点是椭圆上异于其左、右顶点的任意一点,过右焦点作的外角平分线的垂线,交于点,且(为坐标原点)(1)求椭圆的方程;(2)若点在圆上,且在第一象限,过作圆的切线交椭圆于、两点,问:的周长是否为定值?如果是,求出该定值;如果不是,说明理由【答案】(1);(2)6.【解析】试题分析:(1)由已知条件求出,再由离心率,求出b的值,写出椭圆方程;(2)设的方程为(,),由直线AB与圆相切,求得,设 ,(),联立直线与椭圆方程,消去y得到一个关于x的一元二次方程,求出的值,再算出弦长的表达式,由两点间的距离公式算出 的表达式,算出的周长为定值。试题解析:(1)延长交直线于点,为的外角平分线的垂线,为的中点, ,由椭圆的离心率,得,椭圆的方程为(2)由题意,设的方程为(,),直线与圆相切,即,由得,设 ,(),则, ,又,同理, ,即的周长为定值6点睛:本题主要考查求椭圆的方程、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等,属于中档题。熟练掌握圆的性质是解答本题的关键。21.已知函数(1)曲线在点处的切线垂直于直线:,求的值;(2)若函数有两个不同的零点,求的范围【答案】(1)或(2)或【解析】试题分析:(1)求得,根据在点处垂直于直线 ,得到,即可求解实数的值;(2)求得函数的导函数,可分、和三种情况讨论,由函数有两个不同的零点,列出不等式,即可求解的取值范围试题解析:(1),因为在点处垂直于直线 ,所以,解得或(2)函数的定义域为,当时, ,无零点;当时,得当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,因为,且当时,当时,若函数有两个不同的零点,需,即,;当时,令,得当时,函数单调递减;当时,函数单调递增,当和当,均有,若函数有两个不同的零点,需时,即,综上,函数有两个不同的零点,的取值范围是或点睛:本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题,解答本题,准确求导数是基础,恰当分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而错漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,
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