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江苏省盐城中学2018届高三考前热身2数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上1已知集合,则 2设复数满足,则 3某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本,已知从高中生中抽取70人,则为 4执行如图所示的流程图,则输出的值为 5已知,则 6应半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为 cm7从甲、乙、丙、丁4个人中随机选取两人,则甲、乙两人中有且只有一个被选取的概率为 8已知为椭圆的两个焦点,为椭圆上一点,且,则此椭圆离心率的取值范围是 9设是由正数组成的等比数列,为其前项和,已知,则 10从边长为的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,作成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为 11已知正实数满足,则的最小值为 12若斜率互为相反数且相交于点的两条直线被圆:所截得的弦长之比为,则这两条直线的斜率之积为 13在中,是所在平面内一点,若,则面积的最小值为 14已知函数,若函数有三个零点,则实数的取值范围为 二、解答题:本大题共6小题,共计90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15已知向量,且共线,其中.(1)求的值;(2)若,求的值.16.在如图多面体中,底面,是的中点.(1)平面;(2)平面.17如图,在地正西方向的处和正东方向的处各一条正北方向的公路和,现计划在和路边各修建一个物流中心和.为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路和.设.(1)为减少周边区域的影响,试确定的位置,使与的面积之比最小;(2)为节省建设成本,试确定的位置,使的值最小.18给定椭圆:,称圆为椭圆的“伴随圆”.已知椭圆的离心率为,且经过点.(1)求实数的值;(2)若过点()的直线与椭圆有且只有一个公共点,且被椭圆的伴随圆所截得的弦长为,求实数的值.19已知函数.(1)若,求证:函数有极值;(2)若,且函数与的图象有两个相异交点,求证:.20已知数列中,.(1)是否存在实数,使数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由;(2)若是数列的前项和,求满足的所有正整数.数学(附加题)21【选做题】在A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41:几何证明选讲已知为圆的直径,是上半圆上的任意一点,是的平分线,是下半圆的中点.求证:直线经过点.B选修42:矩阵与变换已知矩阵满足:,其中是互不相等的实常数,是非零的平面列向量,求矩阵C选修44:坐标系与参数方程已知两个动点分别在两条直线和上运动,且它们的横坐标分别为角的正弦,余弦,记,求动点的轨迹的普通方程.D选修45:不等式选讲已知,证明:.【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22一位网民在网上光顾某淘宝小店,经过一番浏览后,对该店铺中的五种商品有购买意向.已知该网民购买两种商品的概率均为,购买两种商品的概率为,购买种商品的概率为.假设该网民是否购买这五种商品相互独立.(1)求该网民至少购买4种商品的概率;(2)用随机变量表示该网民购买商品的种数,求的概率分布和数学期望.23设个正数满足且.(1)当时,证明:;(2)当时,不等式也成立,请你将其推广到且个正数的情形,归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明.参考答案一、填空题:1 2 3100 419 56 7 8 9 1014411 12或 13 14二、解答题15证明:(1),即(2)由(1)知,又,即,即又,.16.证明:(1),又,是的中点,四边形是平行四边形,.(2)连接,四边形是矩形,底面,平面,平面,四边形为菱形,又,平面,平面,平面. 17解(1)在中,由题意可知,则所以同理在中,则,所以故与的面积之和为,当且仅当,即时,取“=”故当km,km时,与的面积之和最小.(2)在中,由题意可知,则同理在中,则令,则,令,得,记,当时,单调减;当时,单调增;所以时,取得最小值,此时,所以当为,且为时,的值最小. 18. 解(1)记椭圆的半焦距为,由题意,得,解得(2)由(1)知椭圆的方程为,圆的方程为显然直线的斜率存在,设直线的方程为,即因为直线与椭圆有且只有一个公共点,故方程组(*)有且只有一组解由(*)得从而化简得因为直线被圆所截得的弦长为,所以圆心到直线的距离,即由,解得.因为,所以.19. 解:(1)得,且函数有两个零点,则可设为,()若,则有极值.(2)由,得,记,则,由函数与的图象有两个相异交点知函数有两互异零点若单调递增,则最多1个零点,矛盾,此时,令,则,列表:,.20. 解:(1)设,因为若数列是等比数列,则必须有(常数),即,即,此时所以存在实数,使数列是等比数列.(2)由(1)得是以为首项,为公比的等比数列故,即由,得,所以,显然当时,单调递减,又当时,当时,所以当时,;,同理,当且仅当时,综上,满足的所有正整数为1和2.附加题参考答案21.A 证明:连结,则因为是圆周角,同弧上的圆心角所以同理可得,所以是的平分线又也是的平分线,的平分线有且只有一条,所以与重合,所以直线经过点.21.B 解 由题意,是方程的两根因为,所以又因为,所以,从而所以因为,所以,从而,故矩阵21.C解:设,则,两式平方相加得又,所以所以动点轨迹的普通方程为().21.D 证明:因为所以所以.22. 解(1)记“该网民购买种商品”为事件,则,所以该网民至少购买4种商品的概率为.答:该网民至少购买4种商品的概率为.(2)随机变量的可能取值为0,1,2,3,4,5,.所以随机变量的概率分布列为故.23. 解:证明:因为(且)均为正实数,左-右所以原不等式成立.(2)归纳的不等式为:(且)记,当且时,由(1)知,不等式成立;假设当(且)时,不等式成立,即则当时,因为所以,所以当,不等式成立综上所述,不等式(且)成立.
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