人教版九年级数学中考培优专题：数形结合思想（含答案）【例l】设，则的最小值为_.【例2】直角三角形的两条直角边之长为整数，它的周长是厘米，面积是平方厘米，这样的直角三角形 ( ) A不存在 B至多1个 C有4个 D有2个 【例3】如图，在ABC中，A，B2C，B的平分线交AC于D，AEBC于E，DFBC于F. 求证：. 【例4】 当在什么范围内取值时，方程有且只有相异的两实数根？ 【例5】 设ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上，另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等，证明：ABC为正三角形 【例6】设正数，满足方程组，求的值 能力训练1. 不查表可求得tan的值为_.2. 如图，点A，C都在函数()的图象上，点B，D都在轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D的坐标为_. 3平面直角坐标系上有点P(1，2)和点Q(4，2)，取点R(1，)，当_时，PRRQ有最小值.4.若，要使成立，的取值范围是_. 5.已知AB是半径为1的O的弦，AB的长为方程的正根，则AOB的度数是_. 6. 如图，所在正方形的中心均在坐标原点，且各边与轴或轴平行，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，顶点依次用，表示，则顶点的坐标是( )A . (13，13) B(13，13) C.(14，14) D. (14，一14) 第2题图 第6题图7在ABC中，C，AC3，BC4在ABD中，A，AD12.点C和点D分居AB两侧，过点D且平行于AC的直线交CB的延长线于E如果，其中，是互质的正整数，那么= ( )A. 25 B.128 C.153 D.243 E.256 8设，分别是ABC的三边的长，且，则它的内角A，B的关系是( )AB2A BB=2A CB2A D不确定 9如图，则( ) A B C D 10. 满足两条直角边边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有( ) A. 1个 B2个 C3个 D无穷多个11. 如图，关于的二次函数的图象与轴交于A(，0)，B(，0)两点(0)，与轴交于C点，且BACBCO. (1) 求这个二次函数的解析式；(2) 以点D（，0）为圆心D，与轴相切于点O，过抛物线上一点E(，)(0，0)作轴的平行线与D交于F，G两点，与抛物线交于另一点H问是否存在实数，使得EFGHCF?如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由 12.已知正数，A，B，C满足ABC. 求证：B十CA.13.如图，一个圆与一个正三角形的三边交于六点，已知AG2，GF13，FC1，HI7，求DE 14.射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC/QN，AMMB 2cm，QM 4cm.动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上）请写出可以取的一切值：_（单位：秒） 15. 如图，已知D是ABC边AC上的一点，AD：DC2：1，C，ADB 求证：AB是BCD的外接圆的切线 16.如图，在ABC中，作一条直线BC，且与AB、AC分别相交于D，E两点，记ABC，BED的面积分别为S，K求证：K 17.如图，直线OB是一次函数的图象，点A的坐标为(0，2). 在直线OB上找点C，使得ACO为等腰三角形，求点C的坐标 参考答案例1 5提示:作出B点关于x轴的对称点B(2,-3)，连结AB交x轴于C，则AB=AC十CB 为所要求的最小值.例2 D提示:设两直角边长为a，b，斜边长为c，由题意得a+b+c=x，,又，得.因a,h为边长且是整数.故当得b4，要使a,b为整数，只有两种取法:若b=5时，a=12(或b= 12,a=5);若b=8时，a=6(或b=6,a=8).例3设AB=x，则BC=2x,AC=, BE=,DF =DA=.在RtAEB中求得AE=代入证明即可. 例4如图，作出函数图象，由图象可以看出:当a=0时，y=0与有且只有相异二个交点;当时，y=a与图象有四个不同交点;当时，y=a与图象有三个不同交点，当时，y=a与图象有且只有相异二个交点.例5由 ,知正数适合方程当时，有，故是方程的根.但任何二次方程至多只有两个相异的根，所以中的某两数必相同.设,若，由得，则ac=2s=a，这样ABC就是以B为直角的直角三角形，ba，矛盾，故a=c，得证.例6即化简得能力训练1. 提示:构造含的RtABC. 2.提示:如图，分别过点A,C作x轴的垂线，垂足分别为E, F.设OE=a, BF=b，则AE=, CF=，所以点A,C的坐标为解得点D坐标为.3. 提示:当R,P，Q三点在一条直线上时，PR+RQ有最小值.4. 5. 提示:由得1，则有ABOB.在OB上截取OC=AB=x，又由得，即，则ABC,AB=AC=OC. 6. C提示:由题所给的数据结合坐标系可得，是第14个正方形上的第三个顶点，位于第一象限，所以的横纵坐标都是14. 7. A 8. B 提示：由条件即，延长CB至D，使BD=AB，易证ABCDAC，得ABC=D+BAD=2D=2BAC. 9. D 10. C提示:设直角三角形的两条直角边长为则 (均为正整数)，化简得解得即有3组解.11. (1) (2)过D作DM EH于M，连结DG, ,若EF+GH=FG成立，则EH= 2FG.由EF/x轴，设H为，又E,H为抛物线上的两个点，即是方程的两个不相等的实数根，,解得 (舍去).12.a十A=b+B=c十C=k，可看作边长为k的正三角形，而从联想到边长为k的正方形的面积.如图，将aB+bC+cA看作边长分别为a与B,b与C,c与A的三个小矩形面积之和，将三个小矩形不重叠地嵌入到边长为k的正方形中，显然aB+bC+cAk2. 13. AC=AG+GF+FC=16，由AHAI=AGAF，得AH (AH7)2(213)，解得AH3，从而HI7，BI6设BDx，CEy，则由圆幂定理得，即.解得.故DE16(xy)2.14. t2或3t7或t8. 提示：本题通过点的移动及直线与圆相切，考查分类讨论思想.由题意知AMQ60，MN2当t2时，圆P与AB相切；当3t7时，点P到AC的距离为，圆P与AC相切；当t8时，圆P与BC相切 15设AD2，DC1，作BEAC，交AC于E又设EDx,则BEx,BEECx又1xx,x,BE,AEADED2x，AB2 AE2BE2（）2（）26，而ADAC6AB2 ADAC.故由切割线定理逆定理知，AB是BCD的外接圆的切线16设m(0m1).m，SABEm SABC又1m，SBDE(1m) SABE m(1m) SABC即K(1m)mS，整理得Sm2SmK0,由0得KS.17分以下几种情况：若此等腰三角形以OA为一腰，且BAC为顶角，则AOAG 2设C1（x,2x），则x2（2x2）222，