1【成才之路】2014-2015 学年高中数学 2.5 从力做的功到向量的数量积基础巩固 北师大版必修 4一、选择题1已知向量 a、 b 满足| a|1，| b|4，且 ab2，则 a 与 b 的夹角为()A B 6 4C D 3 2答案C解析设 a 与 b 的夹角为 ，则据向量数量积公式可得 cos ，则ab|a|b|cos .214 12 0， . 32若 e1， e2是夹角为 的单位向量，且 a2 e1 e2， b3 e12 e2，则 ab 等于() 3A1 B4C D72 72答案C解析 ab(2 e1 e2)(3 e12 e2)6 e e1e22 e 6| e1|2| e1|e2|cos 2| e2|221 2 361 211 21 2 .12 723(2014新课标理，3)设向量 a， b 满足| a b| ，| a b| ，则 ab()10 6A1 B2C3 D5答案A解析本题考查平面向量的模，平面向量的数量积| a b| ，| a b| ， a2 b22 ab10， a2 b22 ab6.10 6联立方程解得 ab1，故选 A.4如图，Rt ABC 中， A90， AB AC1，则 的值是()AB BC 2A1 B1C2 D2答案B解析 与 的夹角为 135，| | ，AB BC BC 2 1 cos1351.AB BC 25已知| b|3， a 在 b 方向上的射影是 ，则 ab 的值为()32A3 B 92C2 D12答案B解析设 a 与 b 的夹角为 ，由题意知| a|cos .32 ab| a|b|cos 3 .32 926已知向量 a 与 b 的夹角为 120，| a|3，| a b| ，则| b|等于()13A5 B4C3 D1答案B解析| a b| ，13( a b)213，即 a22 ab b213，也就是| a|22| a|b|cos | b|213.将 120，| a|3，代入可得| b|23| b|40.解之，得| b|4 或| b|1(舍去)二、填空题7已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量， k 为实数，若向量 a b 与向量 ka b 垂直，则 k_.答案1解析考查了向量的数量积，垂直等问题由 a b 与 ka b 垂直知( a b)(ka b)0，即 ka2 ab kab b20，3又由| a| b|1 知( k1)( ab1)0，若 ab1，则 a 与 b 夹角 180，与 a， b 不共线矛盾， k10， k1.8(2013江西理，12)设 e1， e2为单位向量，且 e1， e2的夹角为 ，若 3a e13 e2， b2 e1，则向量 a 在 b 方向上的射影为_答案52解析本题考查了平面向量的数量积的运算由已知| a| ，| b|2， ab5.13| a|cos| a| .ab|a|b| ab|b| 52三、解答题9已知| a|2，| b|4.(1)当 a b 时，求| a b|；(2)当 a b 时，求 ab；(3)若( a2 b)与(3 a b)垂直，求向量 a 与 b 的夹角解析(1) a b， ab0，| a b|2( a b)2 a22 ab b241620，| a b|2 .5(2) a b，当 a 与 b 同向时， ab| a|b|8；当 a 与 b 反向时， ab| a|b|8.(3)由( a2 b)与(3 a b)垂直，得( a2 b)(3a b)0，即 3a25 ab2 b20，5 ab2 b23 a2， ab4.设 a， b 的夹角为 ，则 cos ，ab|a|b| 424 120 180， 60.一、选择题1已知 a、 b、 c 是单位向量，且 ab0，则( a c)(b c)的最小值为()A2 B 22C1 D1 2答案D解析本题考查数量积的运算设 a b 与 c 的夹角为 ，则4(a c)(b c) ab ac cb c20( a b)c11( a b)c1| a b|c|cos1 1cos2最小值为 1 ，即 a b 与 c 同向共线时取得最小值22在 ABC 中，若 2 ，则 ABC 是()AB AB AC BA BC CA CB A等边三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D直角三角形答案D解析因为 2 ( )AB AB AC BA BC CA CB AB AC BC ，所以 0，即 ，所以三角形为直角三角形，选 D.CA CB AB AB CA CB CA CB CA CB 二、填空题3(2013安徽文，13)若非零向量 a， b 满足| a|3| b| a2 b|，则 a 与 b 夹角的余弦值为_答案13解析本题主要考查了向量运算及夹角公式运用| a|3| b| a2 b|，| a|29| b|2( a2 b)2| a|24| b|24 ab， ab| b|2，cos a， b .ab|a|b| |b|23|b|b| 134已知平面向量 ， ，| |1，| |2， ( 2 )，则|2 |的值是_答案 10解析本题考查了向量的运算 ( 2 )， ( 2 ) 2 2 0，2 2 | 2，|2 | 4 2 4 2 6 2 2 .6| |2 | |2 6 4 10三、解答题5若 O 是 ABC 所在平面内的一点，且满足| | 2 |，判断 ABC 的OB OC OB OC OA 形状5解析 2 OB OC OA OB OA OC OA ， .AB AC OB OC CB AB AC | | 2 |，OB OC OB OC OA | | |，AB AC AB AC | |2| |2，AB AC AB AC 0， AB AC，故 ABC 为直角三角形AB AC 6已知| a|3，| b|2， a 与 b 的夹角为 60， c3 a5 b， d ma3 b.(1)当 m 为何值时， c 与 d 垂直？(2)当 m 为何值时， c 与 d 共线？解析(1)假设向量 c 与向量 d 垂直，得 cd0，而 cd(3 a5 b)(ma3 b)3 ma2(5 m9) ab15 b227 m3(5 m9)60，42 m870， m ，2914即当 m 时， c 与 d 垂直2914(2)假设 c 与 d 共线，则存在实数 ，使得 c d ，3 a5 b (ma3 b)，即 3a5 b ma 3 b .又 a 与 b 不共线，Error!解得Error!即当 m 时， c 与 d 共线957已知平面上三个向量 a， b， c 的模均为 1，它们相互之间的夹角为 120.(1)求证：( a b) c；(2)若| ka b c|1(kR)，求 k 的取值范围解析(1)证明：| a| b| c|1，且 a， b， c 之间夹角均为 120，( a b)c ac bc| a|c|cos120| b|c|cos1200，( a b) c.(2)解：| ka b c|1，( ka b c)(ka b c)1，即 k2a2 b2 c22 kab2 kac2 bc1. ab ac bccos120 ，126 k22 k0，解得 k2，即 k 的取值范围是 k|k2