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莆田一中2018届第四次月考理科数学试卷 2018.05.04一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合,若,则实数的取值集合为( )A B C D 2.复数的共轭复数是( )A B C D3. 以下有关命题的说法错误的是( ) A. 命题“若,则”的逆否命题为“若,则”B. “”是“”成立的必要不充分条件C. 对于命题,使得,则,均有D. 若为真命题,则与至少有一个为真命题4.执行如图所示的程序框图,如果输入的,则输出的属于( )A B C D 第4题图 第5题图5.某几何体的三视图如图所示,则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点,它们之间距离的最大值为( )A B C D6.中,、是双曲线的左、右焦点,点在上,且,则的离心率为( ). A B C. D7.中国古代有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是( ) A174斤 B184斤 C.191斤 D201斤 8.已知奇函数,当时单调递增,且,若,则的取值范围为( ) A B C. D9.一张储蓄卡的密码共有位数字,每位数字都可以从到中任选一个,某人在银行自动提款机上取钱时,忘记了密码最后一位数字,如果任意按最后一位数字,不超过次就按对的概率为( )A B C D 10. 若,函数的图像向右平移个单位长度后与函数图像重合,则的最小值为( ) A B C. D11.在中,边上的高为2,则的内切圆半径( )A BCD 12.如图,在四棱锥中,顶点在底面的投影恰为正方形 的中心且,设点、分别为线段、上的 动点,已知当取得最小值时,动点恰为的中点,则该四棱锥的外接球的表面积为( ) ABCD 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.若满足约束条件,则的最大值是 14. 若的展开式的常数项是_ 15.已知向量,满足,且,_ 16.已知函数,若使得函数有三个零点,则的取值范围是_. 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 为数列的前项和已知0,,且(1)求的通项公式(2)设,求的值.18. 如图所示,直三棱柱中, ,点,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)若二面角的大小为,求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知点,圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线与半径相交于(1)求动点的轨迹的方程;(2)若直线与圆相切,并与(1)中轨迹交于不同的两点、当=,且满足时,求面积的取值范围20.(12分)为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量某地车牌竞价的基本规则是:“盲拍”,即所有参与竞拍的人都是网络报价,每个人并不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的公告,统计了最近5个月参与竞拍的人数(如表):(1)由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数(万人)与月份编号之间的相关关系请用最小二乘法求关于的线性回归方程:,并预测2018年4月份参与竞拍的人数;(2)某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查,得到如表一份频数表:(i)求这200位竞拍人员报价的平均值和样本方差(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替);(ii)假设所有参与竞价人员的报价可视为服从正态分布,且与可分别由(i)中所求的样本平均数及估值若年4月份实际发放车牌数量为3174,请你合理预测(需说明理由)竞拍的最低成交价参考公式及数据:回归方程,其中,;,;若随机变量服从正态分布,则,21.(12分)已知函数.(1)若,函数的极大值为,求实数的值;(2)若对任意的,在上恒成立,求实数的取值范围. (二)选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知曲线与曲线(为参数,)以坐标原点为极点, 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系(1)写出曲线的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知点是射线与的公共点,点是与的公共点,当在区间上变化时,求的最大值23. (10分)已知函数()(1)证明:;(2)若,求实数的取值范围莆田一中2018届第四次月考理科数学参考答案 DBDA BDBA CBBB 17. (1) 可得 两式相减得, 即,又 即 由已知可得, 故为等差数列,.(2) 18. ()连接,,则且为的中点,又为的中点,又平面,平面,故平面.()因为是直三棱柱,所以平面,得.因为,故.以为原点,分别以,所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,.取平面的一个法向量为,由得:令,得,同理可得平面的一个法向量为,二面角的大小为,解得,得,又,设直线与平面所成角为,则.19. ()连接QF,|QE|QF|=|QE|QP|=|PE|=(|EF|=2), 点的轨迹是以E(-1,0) 、F(1,0)为焦点,长轴长的椭圆,即动点Q的轨迹的方程为; 4分()依题结合图形知的斜率不可能为零,所以设直线的方程为()直线即与圆O:相切,得 5分又点A、B的坐标(,)、(,)满足:消去整理得,由韦达定理得,其判别式, 7分=,9分 10分,且, 12分20.21.解:(1)由题意, 2分()当时,令,得;,得,所以在单调递增,单调递减所以的极大值为,不合题意. 3分()当时,令,得;,得或,所以在单调递增,单调递减,所以的极大值为,得.综上所述. 5分(2)令,当时,则对恒成立等价于,即,对恒成立. 7分()当时,此时,不合题意. 8分()当时,令,则,其中, 令,则在区间上单调递增,时,所以对,从而在上单调递增,所以对任意,即不等式在上恒成立.10分时,由,及在区间上单调递增,所以存在唯一的使得,且时,.从而时,所以在区间上单调递减,则时,即,不符合题意.综上所述, .12分22.解:(1)曲线的极坐标方程为,即曲线的普通方程为,即,所以曲线的极坐标方程为 4分(2) 由(1)知,由知,当,即时, 有最大值10分23. 10
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