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2017-2018学年浙江省诸暨市牌头中学高二下学期期中考试数学注意事项:1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知全集,集合, ,则( )A. B. C. D. 2设,则“”是“”的 ( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件32018渭南质检一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积是( )A. B. C. D. 4已知双曲线 的离心率为,则的渐近线方程为A. B. C. D. 5若,则( )A. B. C. D. 6若圆关于直线对称,则的最小值为( )A. 1 B. 5 C. D. 47设函数 ,其中常数满足若函数(其中 是函数的导数)是偶函数,则等于A. B. C. D. 8设等差数列的前项和为,且满足,则中最大的项为A. B. C. D. 9以等腰直角三角形的斜边上的中线为折痕,将与折成互相垂直的两个平面,得到以下四个结论:平面;为等边三角形;平面平面;点在平面内的射影为的外接圆圆心.其中正确的有( )A. B. C. D. 10设, 且, 则在上的投影的取值范围( )A. B. C. D. 第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11已知抛物线的准线方程为,则实数a的值为_.12在等比数列中,如果, ,那么等于_13已知、满足约束条件,则目标函数的最大值与最小值之和为_14在ABC中,角的对边分别为,若,则的形状一定是_三角形15设椭圆的左、右焦点分别为、,过焦点的直线交椭圆于、两点,若的内切圆的面积为,则_.16三棱锥的所有顶点都在球的表面上, 平面,则球的表面积为_17已知是上的偶函数,且若关于的方程有三个不相等的实数根,则的取值范围是_三、解答题18已知曲线在点处的切线方程是.(1)求, 的值;(2)如果曲线的某一切线与直线: 垂直,求切点坐标与切线的方程.19设函数,其中向量,()求的最小正周期及单调减区间()若,求函数的值域()在中,求与的值20四棱锥中,底面是边长为的菱形,侧面底面, , 是中点,点在侧棱上.()求证: ;()若是中点,求二面角的余弦值;()是否存在,使平面?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.21已知椭圆C: 的离心率与双曲线的离心率互为倒数,且过点(1)求椭圆C的方程;(2)过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M、N两点 求证:直线MN的斜率为定值; 求MON面积的最大值(其中O为坐标原点)22设数列an的前n项和Sn. 已知a1=1, ,nN*.() 求a2的值;() 求数列an的通项公式;() 证明:对一切正整数n,有.参考答案1C【解析】由题得 所以 ,故选C.2B【解析】若,则,有,必要性成立;若,当时, ,充分性不成立;所以“”是“”的必要不充分条件.本题选择B选项.3B【解析】根据题意得到原图是三棱锥,底面为等腰直角三角形,高为1,故得到体积为: 故答案为:B。4A5B【解析】,选B6D【解析】由题设直线过圆心即故选7A8D【解析】数列为递减数列,为正, 为负, 为正, 为负,为正, 为负,最大.故选:D9D【解析】法1:因为,所以三点共线.如图(1),当在之间时(含两点),在的投影的取值范围是; 如图(2),当在的延长线上时(不含点),在的投影的取值范围是(当接近于平行时, 在的投影无限接近于);如图(3),当在的延长线上时(不含点),在的投影的取值范围是(当接近于平行时, 在的投影的无限接近于);综上, 在的投影的取值范围是.法2:不妨设为坐标原点, , ,则,也就是.而在上的投影为.令,如果,则,所以也就是,所以;当时, ;当时, ,所以也就是,所以.综上, 的取值范围为.10.D点睛:处理平面向量的有关问题时,先分析题设中的向量等式是否具有明确的几何意义.本题中的向量等式蕴含三点共线,因此考虑动点的三种位置关系就可以讨论出相应的投影范围.当我们无法挖掘向量等式隐藏的几何意义时(或者根本没有几何意义),我们就从坐标的角度把向量问题转化为函数问题.11【解析】将化为,由题意,得,即.128【解析】由于正负相同,根据等比数列的基本性质有.13 【解析】如图所示,作出线性约束条件满足的平面区域是三角形内部包括边界,当直线与直线重合时,目标函数取得最大值,当直线经过可行域中的点时,目标函数取到最小值的最大值与最小值之和为,故答案为.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.14等腰【解析】由余弦定理得,化简得,所以为等腰三角形.154【解析】椭圆的左右焦点分别为F1,F2,a=2,过焦点F1的直线交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,MNF2的内切圆的面积为,MNF2内切圆半径r=1MNF2面积S=1(MN+MF2+MF2)=2a=4,故答案为:4点睛:这个题目考查了椭圆的几何性质的应用;其中重点考查了焦三角形的应用;椭圆的焦三角形周长为:2a+2c,和焦半径有直接联系,关于焦三角形的顶角当顶点在椭圆的上顶点时顶角最大,可结合三角形的面积公式和余弦定理得证.16【解析】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=因为平面故得到 三角形ABC为直角三角形,三角形ACD也为直角三角形,故球心在AD的中点上,球的半径为 故答案为: .点睛:涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.1718(1);(2), 或.【解析】试题分析:(1)先求出函数的导数,由导数的几何意义可得, ,解方程可得的值;(2)设切点的坐标为,由两直线垂直的条件,斜率之积为,可得切线的斜率,解方程可得切点坐标,进而可得切线方程.试题解析:(1)的导数,由题意可得, ,解得, .(2)切线与直线垂直,切线的斜率.设切点的坐标为,则,.由,可得,或.则切线方程为或.即或.19(),;()(),【解析】试题分析:(1),令即可得减区间;(2)由()易知在上单调递增,上单调递减,求最值即可得值域;(3)由得,由余弦定理得,结合即可得解.试题解析:()令,得所以单调减区间为:.()当时由()易知在上单调递增,上单调递减.,则在上值域为()又,则,由余弦定理,得即,得或(舍),20()见解析;().().【解析】试题分析:()证明AD平面POB,即可证明ADPB;()证明PO底面ABCD,建立空间直角坐标系,求出平面DEQ的法向量,平面DQC的法向量,利用向量的夹角公式,即可求得结论;()求出平面DEQ法向量,利用PA平面DEQ,即,从而可得结论解析:()取中点,连接.因为,所以.因为菱形中, ,所以.所以.因为,且平面,所以平面.所以.()由()可知, ,因为侧面底面,且平面底面,所以底面.以为坐标原点,如图建立空间直角坐标系.则,因为为中点,所以.所以,所以平面的法向量为.因为,设平面的法向量为,则,即.令,则,即.所以.由图可知,二面角为锐角,所以余弦值为.()设由()可知.设,则,又因为,所以,即.所以在平面中, ,所以平面的法向量为,又因为平面,所以,即,解得.所以当时, 平面.点睛:这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系,平面和平面的夹角。求线面角,一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离,除以线段长度就是线面角的正弦值;还可以建系,用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量,再求线面角即可。面面角一般是要么定义法,做出二面角,或者三垂线法做出二面角,利用几何关系求出二面角,要么建系来做。21(1)(2) 【解析】试题分析:(1)先求双曲线离心率得椭圆离心率,再将点坐标代入椭圆方程,解方程组得,(2)先根据点斜式得直线方程,再与椭圆方程联立解得坐标,根据直线与圆相切,得斜率相反,同理可得最后根据斜率公式求斜率,设直线MN方程,根据原点到直线距离得高,与椭圆方程联立方程组结合韦达定理以及弦长公式得底边边长,最后代入三角形面积公式,利用基本不等式求最值.试题解析:(1)可得,设椭圆的半焦距为,所以, 因为C过点,所以,又,解得, 所以椭圆方程为(2) 显然两直线的斜率存在,设为, ,由于直线与圆相切,则有, 直线的方程为, 联立方程组消去,得,因为为直线与椭圆的交点,所以,同理,当与椭圆相交时, ,所以,而,所以直线的斜率 设直线的方程为,联立方程组消去得,所以, 原点到直线的距离,面积为,当且仅当时取得等号经检验,存在(),使得过点的两条直线与圆相切,且与椭圆有两个交点M,N所以面积的最大值为点睛:解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.22(1);(2);(3)见解析.【解析】试题分析:()令代入已知,解之可得;()利用条件变形,又,两式相减,即可求数列an的通项公式;()分类,放缩,再裂项求和,即可证明结论试题解析:() ,解得. () 两式相减得, ,当时,符合此式,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列, , .()证明:因为,所以15
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