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,九年级数学上册,22.1 二次函数图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质,第一课时,第二课时,第一课时,返回,22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质(1),向上,向下,(h ,k),(h ,k),x=h,x=h,当xh时, y随着x的增大而增大.,当xh时,y随着x的增大而减小.,x=h时,y最小值=k,x=h时,y最大值=k,抛物线y=a(x-h)2+k(a0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.,回顾旧知,二次函数y=a(x-h)2+k的性质,我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质?,导入新知,素养目标,3. 能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.,1. 会用配方法或公式法将一般式yax2bxc化成顶点式y=a(x-h)2+k.,2. 能熟练求出二次函数一般式yax2bxc的顶点坐标、对称轴.,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象,我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质,能否利用这些知识来讨论 的图象和性质?,【思考1】怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式?,探究新知,配方可得,想一想:配方的方法及步骤是什么?,探究新知,怎样将 化成y=a(x-h)2+k的形式?,配方,你知道是怎样配方的吗?,(1)“提”:提出二次项系数;,(2)“配”:括号内配成完全平方;,(3)“化”:化成顶点式.,【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.,探究新知,【思考2】你能说出 的对称轴及顶点坐标吗?,答:对称轴是直线x=6,顶点坐标是(6,3).,【思考3】二次函数 可以看作是由 怎样平移得到的?,答:平移方法1: 先向上平移3个单位,再向右平移6个单位得到的; 平移方法2: 先向右平移6个单位,再向上平移3个单位得到的.,探究新知,【思考4】 如何画二次函数 的图象?,1. 利用图形的对称性列表,7.5,5,3.5,3,3.5,5,7.5,2.然后描点画图,得到 图象如右图.,O,方法一:描点法,探究新知,方法二:平移法,探究新知,方法二:描点法,先利用对称性列表:,开口方向:,对称轴:,顶点:,向上,x=6,(6,3),探究新知,【思考4】 结合二次函数 的图象,说出其性质.,x=6,当x6时,y随x的增大而增大.,O,探究新知,开口方向:,对称轴:,顶点:,向上,x=6,(6,3),例1 画出函数 的图象,并说明这个函数具有哪些性质.,-6.5,-4,-2.5,-2,-2.5,-4,-6.5,解: 函数 通过配方可得 , 先列表:,画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质,探究新知,然后描点、连线,得到图象如下图:,由图象可知,这个函数具有如下性质: 开口方向:向下 顶点坐标:(1,-2) 对称轴:x=1 最值:x=1时,y最大值=-2 当x1时,函数值y随x的增大而增大; 当x1时,函数值y随x的增大而减小; 当x=1时,函数取得最大值,最大值y=-2.,探究新知,求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.,因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).,解:,巩固练习,变式题1,二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质,根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗?,y=ax2+bx+c,探究新知,y=ax2+bx+c,二次函数的顶点式,对称轴为 .,二次函数的一般表达式,因此,抛物线的对称轴是 ,顶点是 .,探究新知,(a0),(a0),二次函数y=ax2+bx+c的图象:,增减性?,最小值,最大值,探究新知,探究新知,指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质,例2 二次函数y=x2+2x3的开口方向、顶点坐标分别是( ) A开口向上,顶点坐标为(1,4) B开口向下,顶点坐标为(1,4) C开口向上,顶点坐标为(1,4) D开口向下,顶点坐标为(1,4) 解析 二次函数y=x2+2x3的二次项系数为a=10, 函数图象开口向上, y=x+2x3=(x+1)24, 顶点坐标为(1,4),方法点拨:把函数的一般式化为顶点式,再由定点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质.,A,探究新知,(1,1),x=1,最大值1,(0,-1),y轴,最大值-1,最小值-6,( ,-6),直线x=,填一填.,巩固练习,变式题2,二次函数字母系数与图象的关系,一次函数y=kx+b的图象如下图所示,请根据一次函数图象的性质填空:,探究新知,二次函数 的图象如下图所示,请根据二次函数的性质填空:,x=0时,y=c.,探究新知,x=0时,y=c.,探究新知,向上,向下,y,左,右,正,负,探究新知,二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系,例3 已知二次函数yax2bxc的图象如图所示,下列结论:abc0;2ab0;4a2bc0;(ac)2b2. 其中正确的个数是 ( ) A1 B2 C3 D4,D,由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0, 故正确;,由图可知x1的点在第四象限得abc0,由图象上x1的点在第二象限得出 abc0,则(abc)(abc)0,即(ac)2b20,可得(ac)2b2,故正确,【解析】由图象开口向下可得a0,由对称轴在y轴左侧可得b0,由图象与y轴交于正半轴可得 c0,则abc0,故正确;,由对称轴x1可得2ab0,故正确;,利用二次函数y=ax2+bx+c的图象确定字母的值,探究新知,变式题3,二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,下列选项中正确的是( ) Aa0 Bb0 Cc0 D ac0,巩固练习,解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点,确定a、b、c的符号,根据对称轴和图象确定y0或y0时,x的范围,确定代数式的符号 开口向下,a0,A错误;对称轴在y轴的右侧和a0,可知b0,B正确;抛物线与y轴交于正半轴,c0,C错误;因为a0,所以ac0,D错误,B,(2018中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1对于下列说法:ab0;2a+b=0;3a+c0;a+bm(am+b)(m为实数);当1x3时,y0,其中正确的是( ) A B C D,解析 由图象开口向下,可知a0,有对称轴在y轴右侧,可知b0,即ab0,故正确,由对称轴x=1得: =1,即2a+b=0,故正确,当x=3时,y0,即9a+3b+c0,b=-2a,3a+c0,故不正确,当x=1时,函数有最大值a+b+c,当x=m时,y=am2+bm+c,即a+b+cam2+bm+c,也就是a+bm(am+b),故正确,由图象知:当-1x3时,y有可能小于0,故不正确.,巩固练习,A,1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表:,A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=,则该二次函数图象的对称轴为( ),D,课堂检测,基础巩固题,2. 已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图所示,则下列结论: (1)a、b同号;(2)当x=1和x=3时,函数值相等; (3) 4a+b=0; (4)当y=2时,x的值只能取0; 其中正确的是 .,(2),课堂检测,基础巩固题,3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:b-2a=0;4a-2b+cy2.其中正确 的是( ),A B C D,x,y,O,2,x=-1,B,课堂检测,基础巩固题,根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:,直线x=3,直线x=8,直线x=1.25,直线x= 0.5,课堂检测,能力提升题,1.已知函数y=-2x2+x-4,当x= 时,y有最大值 . 2.已知二次函数y=x2-2x+1,那么它的图象大致为( ),B,课堂检测,拓广探索题,顶点:,对称轴:,y=ax2+bx+c(a 0) (一般式),配方法,公式法,(顶点式),课堂小结,第二课时,返回,22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的 图象和性质(2),用待定系数法求函数的解析式,已知一次函数经过点(1,3)和(-2,-12),求这个一次函数的解析式。 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点(1,3)和(-2,-12), 所以,解得 k=3,b=-6,一次函数的解析式为y=3x-6.,【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢?,回顾旧知,素养目标,2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.,1.会用待定系数法求二次函数的解析式.,【思考】回忆一下用待定系数法求一次函数的解析式的一般步骤求二次函数y=ax2+bx+c的解析式的关键是什么?,用三点式求二次函数的解析式,探究新知,我们知道,由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数,即可以求出这个一次函数的解析式。对于二次函数,由几个点的坐标可以确定二次函数?,已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4),求这个函数的解析式.,解:,设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.,由已知得:,a-b+c=10 a+b+c=4,三个未知数,两个等量关系,这个方程组能解吗?,第一步:设出解析式的形式; 第二步:代入已知点的坐标; 第三步:解方程组。,探究新知,已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7),求这个函数的解析式.,第一步:设出解析式的 形式; 第二步:代入已知点的 坐标; 第三步:解方程组。,解:,设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.,由已知得:,a-b+c=10 a+b+c=4 4a+2b+c=7,三个未知数,三个等量关系,这个方程组能解吗?,探究新知,?,由-可得:,2b=-6,b=-3,由-可得:,3a+3b=-3,a+b=-1,a=2,将a=2,b=-3代入可得:,2+3+c=10,c=5,解方程组得:,a=2, b=-3, c=5.,探究新知,例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点,求这个函数的解析式.,解:设所求抛物线的解析式为yax2+bx+c. 抛物线经过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 解得a1,b-2,c-3. 抛物线的解析式为yx2-2x-3.,利用三点式求二次函数的解析式,探究新知,求二次函数y=ax2+bx+
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