“ 数学周报杯”2008年全国初中数学竞赛试题参考答案及评分标准一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）（1）已知实数满足 ，则的值为（ A ）（A）7 （B） （C） （D）5解：因为，0，由已知条件得， ，所以7 （2）把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为，则二次函数的图象与x轴有两个不同交点的概率是（ C ） （A） （B） （C） （D）解：基本事件总数有6636，即可以得到36个二次函数. 由题意知0，即4.通过枚举知，满足条件的有17对. 故.（3）有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( B ) （A）6条 （B） 8条 （C）10条 （D）12条解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线从而这6个点可以确定的直线不少于8条当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条（4）已知是半径为1的圆的一条弦，且以为一边在圆内作正，点为圆上不同于点A的一点，且，的延长线交圆于点，则的长为（ B ）（A） （B）1 （C） （D）解：如图，连接OE，OA，OB 设，则又因为，所以，于是（5）将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ D ）（A）2种 （B）3种 （C）4种 （D）5种解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾又如果（1i3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）（6）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：若关于x的方程有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是 【答】，或解：由，得，依题意有 解得，或（7）小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟【答】4解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 由，可得 ，所以 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟（8）如图，在中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点， AD是BAC 的平分线，MFAD，则FC的长为 【答】9解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MNAB又，所以 ，所以 因此 9（9）ABC中，AB7，BC8，CA9，过ABC的内切圆圆心I作DEBC，分别与AB，AC相交于点D，E，则DE的长为 【答】解：如图，设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则，所以 （第8题答案图5数，段成比例，所以） （第8题答案图5数，段成比例，所以）因为ADEABC，所以它们对应线段成比例，因此 ，所以，故（10）关于x，y的方程的所有正整数解为 【答】解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数设，则，同上可知，都是偶数设，则，所以，c，d都是偶数设，则，于是，其中s，t都是偶数所以所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是289，从而7有故 三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）（11）在直角坐标系xOy中，一次函数的图象与轴、轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于（）用b表示k；（）求面积的最小值 解：（）令，得；令，得所以A，B两点的坐标分别为，于是，OAB的面积为由题意，有 ，解得 ， 5分（）由（）知，当且仅当时， 有，即当，时，不等式中的等号成立 所以，面积的最小值 15分（12）已知一次函数，二次函数 是否存在二次函数，其图象经过点（5，2），且对于任意实数x的同一个值，这三个函数所对应的函数值，都有成立？若存在，求出函数的解析式；若不存在，请说明理由解：存在满足条件的二次函数因为 0，所以，当自变量取任意实数时，均成立由已知，二次函数的图象经过点（5，2），得 当时，有，由于对于自变量取任意实数时，均成立，所以有2 2，故 由，得 ，所以 5分当时，有 ，即 0，所以二次函数对于一切实数，函数值大于或等于零，故 即所以 10分 当时， 有 ，即0，所以二次函数对于一切实数，函数值大于或等于零，故 即 所以 综上， 所以，存在二次函数，在实数范围内，对于的同一个值，都有成立 15分（13）是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程有有理数根？ 解：设方程有有理数根，则判别式为平方数令，其中n是一个非负整数则 5分 由于1q+n，且与同奇偶，故同为偶数因此，有如下几种可能情形： 消去n，解得 10分对于第1，3种情形，从而q5；对于第2，5种情形，从而q4（不合题意，舍去）；对于第4种情形，q是合数（不合题意，舍去）又当，q5时，方程为，它的根为，它们都是有理数综上所述，存在满足题设的质数 15分（14）如图，的三边长，都是整数，且 的最大公约数为点和点分别为的重心和内心，且求的周长解：如图，延长，与边分别交于设重心在边上的投影分别为，的内切圆的半径为，边上的高的长分别为，易知CPCQ，由，可得，即 ， 从而可得 10分因为的重心G和内心不重合，所以，不是正三角形，且，否则，可得，矛盾不妨假设，由于，设，于是，有为整数，所以有，即于是只有时，可得，满足条件因此有所以，的周长为35 15分 9