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13.1 13.1 轴对称轴对称 13.1.2 13.1.2 线线段的垂直平分线的性质段的垂直平分线的性质 人教版 数学 八年级 上册 第一课时 第二课时 第一课时 线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线的性质 某区政府为了方便居民的生活,计划在三 个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心, 试问,该购物中心应建于何处,才能使得它到 三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1 导入新知 A B L 实际问题2 在成渝高速公路L的同侧,有两个化工厂A 、B,为了便于两厂的工人看病,市政府计划 在公路边上修建一所医院,使得两个工厂的 工人都没意见,问医院的院址应选在何处? 成 渝 高 速 公 路 导入新知 3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的 垂线,了解作图的道理. 1. 理解线段垂直平分线的性质和判定 2. 能运用线段垂直平分线的性质和判定解决 实际问题 素养目标 你能用不同的方法 验证这一结论吗? 如图,直线l 垂直平分线段AB,P1,P2,P3是l 上的点, 请猜想点P1,P2,P3 到点A 与点B 的距离之间的数量关系. 相等 AB l P1 P2 P3 线段的垂直平分线的性质定理 探究新知 知识点 1 探究 请在图中的直线l 上任取一点,那么这一点与线 段AB 两个端点的距离相等吗? 线段垂直平分线上的点与这 条线段两个端点的距离相等 AB l P1 P2 P3 探究新知 探究 猜想与证明 证明:“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 ” 已知:如图,直线lAB,垂足为C,AC =CB,点P 在l 上 求证:PA =PB AB P C l 探究新知 猜想与证明 用符号语言表示为: CA =CB,lAB, PA =PB 证明: lAB, PCA =PCB 又 AC =CB,PC =PC, PCA PCB(SAS) PA =PB AB P C l 探究新知 猜想与证明 线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等 探究新知 归纳总结 1.如图,在ABC 中,BC =8,AB 的垂直平分线交BC于D, AC 的中垂线交BC 与E,则ADE 的周长等于_ A B C D E 8 巩固练习 解: ADBC,BD =DC, AD 是BC 的垂直平分线, AB =AC 点C 在AE 的垂直平分线上, AC =CE 2.如图,ADBC,BD =DC,点C 在AE 的垂直平分线上 ,AB,AC,CE 的长度有什么关系?AB+BD与DE 有什 么关系? A B C D E 巩固练习 A B C D E 解: AB =AC =CE AB =CE,BD =DC, AB +BD =CD +CE 即 AB +BD =DE 巩固练习 2.如图,ADBC,BD =DC,点C 在AE 的垂直平分线上 ,AB,AC,CE 的长度有什么关系?AB+BD与DE 有什 么关系? 反过来,如果PA =PB,那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢? 点P 在线段AB 的垂直平分线上 已知:如图,PA =PB 求证:点P 在线段AB 的垂直平 分线上 P AB C 线段的垂直平分线的判定定理 探究新知 知识点 2 探究 证明:过点P 作线段AB 的垂线PC, 垂足为C则PCA =PCB =90 在RtPCA 和RtPCB 中, PA =PB,PC =PC, RtPCA RtPCB(HL) AC =BC 又 PCAB, 点P 在线段AB 的垂直平分线上 P AB C 探究新知 用数学符号表示为: PA =PB, 点P 在AB 的垂直平分线上 到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直 平分线上 P AB C 探究新知 猜想与证明 这些点能组成什么几何图形? 你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗 ?能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点? 在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A, B 的距离都相等;反过来,与A,B 的距离 相等的点都在直线l上,所以直线l 可以看成 与两点A、B 的距离相等的所有点的集合 P AB C l 探究新知 试一试 例1 如图,已知:在ABC中,ABAC,O是ABC内 一点,且OBOC,求证:AOBC. 证明:OBOC, 点O在BC的垂直平分线上, 又ABAC, 点A在BC的垂直平分线上, 即A,O均在BC的垂直平分线上, AOBC 线段垂直平分线的判定定理的应用 探究新知 素养考点 1 3.如图,已知在ABC中,ON是AB的垂直平分线,并 且OA=OC 求证:点O在 BC的垂直平分线上. A B C O N 巩固练习 点O在BC的垂直平分线上.(到一条线段的两个端点距离相等的点 ,在这条线段的垂直平分线上) A B C O N 证明:连结OB. ON是AB的垂直平分线(已知) OA=OB(线段的垂直平分线上的 点到这条线段的两个端点的距离相等 ) OA=OC(已知) OB=OC(等量代换) 巩固练习 如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直 线的垂线? C AB D K F E 过直线外一点作已知直线的垂线 作法 : (1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁. (2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点 D和E. (3)分别以点D和点E为圆心,大于 的长 为半径作弧,两弧相交于点F. (4)作直线. 直线CF就是所求作的垂线. 探究新知 知识点 3 探究 (1)为什么任意取一点K ,使点K与点C 在直 线两旁? (2)为什么要以大于 的长为半径作弧? (3)为什么直线CF 就是所求作的垂线? 探究新知 想一想 4. 如图,求作点P,使PAPB,且点P到MON两边的 距离相等 解:(1)作MON的角平分线; (2)作线段AB的垂直平分线与 MON的平分线交于点P,那么, 点P即为所求作的点. 巩固练习 连接中考 解析:DE是AC的垂直平分线,DA=DC, DAC=C=25,B=60,C=25, BAC=95,BAD=BACDAC=70 1.(2018黄冈)如图,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,且分别交 BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为( ) A50B70C75D80 2.(2018南充)如图,在ABC中,AF平分BAC,AC的垂直平分 线交BC于点E,B=70,FAE=19,则C= 度 B 24 巩固练习 1如图,在ABC中,ABAC20 cm,DE垂直平分AB, 垂足为E,交AC于点D,若DBC的周长为35 cm,则BC的长 为( ) A5 cm B10 cm C15 cm D17.5 cm 基础巩固题 C 课堂检测 2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上, 那么这个三角形是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D不能确定 C C 课堂检测 基础巩固题 3如图,CD是AB的垂直平分线,若AC 1.6 cm,BD2.3 cm,则四边形ACBD的周 长为 cm. 7.8 4. 如图,在ABC中,D为BC上一点,且BCBDAD, 则点D在线段 _ 的垂直平分线上 AC 解析:BC=BD+AD, 又BC=BD+DC, AD=DC. 点D在线段AC的垂直平分线上. 课堂检测 基础巩固题 1. 如图,点A,B,C表示某公司三个车间的位置,现要建一个 仓库,要求它到三个车间的距离相等,则仓库应建在什么位置 ? 能力提升题 答:ABC 三边垂直平分 线的交点上. 课堂检测 2.如图,已知E为AOB的平分线上一点,ECOA,EDOB ,垂足分别为C,D.求证:OE垂直平分CD. 证明:E在AOB的平分线上,EDOB于D.ECOA于C, EDEC 在RtEDO和RtECO中EDEC,OEOE RtEDORtECO ODOC O,E都在CD的垂直平分线上, OE垂直平分CD. 课堂检测 能力提升题 如图,已知AB比AC长2 cm,BC的垂直平分线交AB于点 D,交BC于点E,ACD的周长是14 cm,求AB和AC的长 拓广探索题 课堂检测 解:DE垂直平分BC, DBDC. ACADDC14 cm, ACADBD14 cm. 即ACAB14 cm. 设ABx cm,ACy cm. 根据题意,得 解得 AB长为8 cm,AC长为6 cm. 线 段 的 垂 直 平 分 线 性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定 与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直 平分线上. 集合 定义 线段的垂直平分线的集合定义: 线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所 有点的集合. 关系 PA=PB 点P在线段AB 的垂直平分线 上与一条线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点与这条线 段两个端点的距离相等 课堂小结 第二课时 作线作线段的垂直平分段的垂直平分线线 如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一 个公共汽车站,使两个小区到车站的路程一样长,该公共 汽车站应建在什么地方? A B 公路 导入新知 素养目标 3. 能够运用尺规作图的方法解决简单的作图 问题 1. 能用尺规作已知线段的垂直平分线 2. 进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语 言,理解作图的依据 线段垂直平分线的画法 有时我们感觉一(两)个平面图形是轴对称的,如何 验证呢? A B C A B C 通过折叠,如果这(两 )个图形能够互相重合,则这 (两)个图形是轴对称图形. 不折叠图形,你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗 ? 探究新知 知识点 1 问题1: 问题2: 如图,点A和点B关于某条直线成轴对称,你能作出这条 直线吗? A B 分析:我们只要连接点A和点B,作出线段AB的垂直平分线,就可得到 点A和点B的对称轴.为此作出到点A,B的距离相等的两点,即线段AB 的垂直平分线上的两点,从而作出线段AB的垂直平分线. 探究新知 画一画 A B C D 作法 : (1)分别以点A,B为圆心,以大 于 AB的长为半径作弧,两弧交于 C,D两点. (2)作直线CD. CD即为所 求. 特别说明:这个作法实际上就是线段垂直平分线的 尺规作图,我们也可以用这种方法确定线段的中点. 探究新知 如图,A,B是路边两个新建小区,要在公路边增设一 个公共汽车站.使两个小区到车站的路程一样长,该公共汽 车站应建在什么地方? A B 分析:增设的公共汽车站要满足到两个小 区的路程一样长,应在线段AB的垂直平分 线上,又要在公路边上,所以找到AB垂直 平分线与公路的交点即可. 公共汽车站 探究新知 探究 例1 如图,已知点A、点B以及直线l. (1)用尺规作
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