6.36.3特殊的平行四边形特殊的平行四边形(3)(3) 菱菱 形形 情景创设 前面我们学习了平行四边形 和矩形，知道了如果平行四边形 有一个角是直角时,成为什么图形 ? (矩形,由角变化得到) 如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢? 在平行四边形中，如果内角大小保持不 变仅改变边的长度，能否得到一个特殊 的平行四边形？ 平行四边形 有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 菱形 邻边相等 活动一： 让我们一同走进生活中的菱形 菱形就在我们身边 BD A C 菱形是轴对称图形 (2)从图中你能得到哪些 结论?并说明理由. 提示:从边、角、对角线 、等方面来探讨 (1)观察得到的菱形, 它是轴对称图形吗?如果是 ，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系? 由于平行四边形的对边相等， 而菱形的邻边相等， 故： 菱形的性质2： 菱形的两条对角线互相垂 直，并且每一条对角线平 分一组对角。 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四 边形的所有性质. 菱形的性质： BD A C 菱形的性质1： 菱形的四条边都相等。 又： 符号语言 四边形ABCD是菱形 AB=BC=CD=AD 已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，如下图， 证明：四边形ABCD是菱形 A BC D O在ABD中， 又BO=DO AB=AD（菱形的四条边都相等） ACBD，AC平分BAD 同理： AC平分BCD； BD平分ABC和ADC 求证：ACBD ； AC平分BAD和BCD ；BD平分ABC和ADC 命题：菱形的对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角； 符号语言 四边形ABCD是菱形 ACBD AC平分BAD和BCD ； BD平分ABC和ADC 菱形的 两条对角线互相平分 菱形的两组对边平行且相等 边 对角线 角 数学语言 菱形的四条边相等 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补 菱形的两条对角线互相垂直平分， 并且每一条对角线平分一组对角。 四边形ABCD是菱形 = AD BC AB CD = AB=BC=CD=DA A D C B O DAC=BAC DCA=BCA ADB=CDB ABD=CBD ACBD OA=OC;OB=OD DAB=DCB ADC=ABC DAB+ABC= 180 3cm C C B D A O 1.已知菱形的周长是12cm，那么它的 边长是_. 2.如下图：菱形ABCD中BAD60度 ，若BD6cm，则菱形的周长 是（ ） A.3cm B.12cm C. 24cm D.4cm 【菱形的面积公式】 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? 菱形 A B C D O E S菱形=BCAE 思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对 角线能 计算菱形的面积公式吗? ABCD=SABD+SBCD= BD .OA+ BD.OC = ACBD S菱形 面积：S菱形=底高=对角线乘积的一半 S菱形 1、菱形ABCD两条对角线BD、AC长分别是 6cm和8cm，求菱形的面积。 C B D A O A B C D O 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O （2）有哪些特殊的三角形？ （1）图中有哪些线段是相等的？ 1.菱形ABCD中ABC60度，则 BAC_. 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的长为 6cm，则另一条对角线长为 _ 3、已知菱形的两个邻角的比是1：2， 较短的对角线长是 8cm，则菱形的周长为 。 想一想 我们在学习平行四边形的判定和矩形的判定 时，我们首先想到的第一种方法是什么？ 那么类比着它们，菱形的第一种判定方法 是什么？ 一组邻边相等的平行四边形是菱形. 根据定义得： A BC D 还有什么方法吗? 命题：有四条边相等的四边形是菱形。 已知：在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证：四边形ABCD是菱形 D A B C 证明： AB=CD,AD=BC 四边形ABCD是平行四边形 又AB=AD, 四边形ABCD是菱形 u四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=DA A B C D 菱形ABCD AB=BC=CD=DA 四边形ABCD是菱形 四边形ABCD A B C D 判定方法2 ： 数学语言 探究 用一长一短两根细木条,在它们的中点 处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字, 四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动 木条,这个四边形什么时候变成菱形? 猜想：猜想： 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形. 命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知：在 中，AC BDABCD ABCD求证： 是菱形 A B C D O 证明： 四边形ABCD是平行四边形 OA=OC 又ACBD; BA=BC ABCD是菱形 判定方法3 ：u对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ACBD 在ABCD中，ACBD ABCD是菱形 A B C D 菱形ABCD A BC D ABCD 数学语言 菱形常用的判定方法： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。 +邻边相等 = +对角线线互相垂直= 四条边相等+ = 文字语言图形语言符号语言 判定 法一 判定 法二 对角线互相垂直 的平行四边形是 菱形 判定 法三 四边相等的四边 形是菱形 菱形的判定： A B C D AB=BC=CD=DA 四边形ABCD是菱形 在ABCD中 ACBD 四边形ABCD是菱形 在ABCD中 AB=AD 四边形ABCD是菱形 A BC D O A B C D 一组邻边相 等的平行四 边形是菱形 下列三个图形都是菱形,正确吗?为什么？ 5 5 3 4 3 4 5 5 5 5 有一组邻边相等的平 行四边形叫做菱形 对角线互相垂直的平行 四边形是菱形 有四条边相等的四边形是菱形。 3 3 44 如图，边长为a的菱形ABCD中，DAB=60 度，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动 点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正 三角形。 A B C D E F 例1、已知：AD是ABC的角平分线，DEAC 交AB于E，DFAB交AC于F，求证：四边形 AEDF是菱形。 A B C D E F1 2 3 变式训练：把本例中的 “DE/AC交AB于E， DF AB交AC于F”改成“EF垂 直平分AD”，其他条件不变 ，你能否证明四边形AEDF 是菱形？ 菱形性质的应用 w已知:如图,四边形ABCD是边长为13cm 的菱形,其中对角线BD长10cm. 求:(1).对角线AC的长度; (2).菱形的面积 解:(1)四边形ABCD是菱形, =2ABD的面积 AED=900, (2)菱形ABCD的面积=ABD的面积+CBD的面积 AC=2AE=212=24(cm). DB C A E 三、课堂练习（复习巩固） 1、菱形的两条对角线长分别是6cm和 8cm，则菱形 的周长 ，面积 。 2、菱形的面积为24cm2,一条对角线的 长为6cm，则另一条对角线长为 ；边 长为 。 3、已知菱形的两个邻角的比是1：2，较 短的对角线长是 8cm，则菱形的周长为 。 4、已知菱形的周长为40cm，两对角线的 比为3：4，则两对角线的长分别是 。 由此可进一步推导得出：对角线互相垂 直的四边形的面积都等于两条对角线乘积的 一半。 例1：如图，菱形ABCD的边长为4cm， BAD2 ABC。对角线AC、BD相交于点 O，求这个菱形的对角线长和面积。 变式题（1）：菱形两条对角线长为6和8，菱形 的边长为 ，面积为 。 （2）：菱形ABCD的面积为96，对角线 AC长为16 ，此菱形的边长为 。 （3）:菱形对角线的平方和等于一边平方 的 （ ） A. 2倍 B. 3倍 C.4倍 D. 5倍 54 10 C 例2：菱形ABCD中，对角线AC、BD相 交于点O，E、F分别是AB、AD的中点，求证 ：OEOF。 A B C D E F 变式题（1）：菱形ABCD ,E、F分别ABCD 的中点，求证：CE=CF. （2）如果上题中还有CEAB, CFAD,求各内角的度数 例3：如果菱形的一个角是1200，那么这 个角的顶点向两条对边所引的两条垂线分别 平分两边。 A B C D E F 已知如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD 上的点，且B= EAF=60 , BAE=18, 求 CEF的度数. 思考：已知：菱形中ABCD，A=72, 请设计三种不同的分法，将菱形ABCD 分成四个三角形，使得每一个三角形都 是等腰三角形。 1.菱形的定义: 是菱形 2.菱形的性质:菱形的四条边 ， 菱形的对角线 ，并且每一条对角 线一组 对角. 3.下列说法不正确的有 (填番号) 菱形的对边平行且相等.菱形的对角线互相平分 菱形的对角线相等.菱形的对角线互相垂直. 菱形的一条对角线平分一组对角.菱形的对角相 等. 4.菱形的面积公式: . 5.菱形既是 图形，又是 图形. 3cm C C B D A O 6.已知菱形的周长是12cm，那么它的 边长是_. 7.如下图：菱形ABCD中BAD60度 ， 若BD6cm，则菱形的周长 是（ ） A.3cm B.12cm C. 6cm D.4cm 8、如图，E为菱形ABCD边BC上一点， 且AB=AE，AE交BD于O，且 DAE=2BAE， 求证：EB=OA； A B C D O E 7、已知，菱形对角线长分别为12cm和 16cm，求菱形的高。 例1变形 D O A C B 菱形ABCD的周长为16，相邻两角的度数 比为1：2 求菱形ABCD的对角线的长； 求菱形ABCD的面积 补充例题：已知如图，菱形ABCD中， E是AB的中点，且DEAB，AB=1。 求（1）ABC的度数； （2）对角线AC、BD的长； （3）菱形ABCD的面积。 AB C D E O A B C D 例1 如图，菱形花坛ABCD的边长为20m， ABC60度，沿着菱形的对角线修建了 两条小路AC和BD，求两条小路的长和花 坛的面积（分别精确到0.01m和0.01m ） O 有同学是这样做的：将一张长方形的纸对 折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打 开即可.你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准 确地剪